2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高三（上）9月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高三（上）9月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−11，若∀x∈(0,+∞)，ax>lgaax恒成立，则a的取值范围是( )
A. (e1e,+∞)B. (e2,+∞)C. (1,e1e)D. (1,e2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到χ2≈4.881，则可以认为( )
A. 根据小概率值α=0.05的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.05=3.841)，两种疗法的效果没有差异
B. 根据小概率值α=0.05的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.05=3.841)，两种疗法的效果存在差异
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，两种疗法的效果没有差异
D. 根据小概率值α=0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，两种疗法的效果存在差异
10.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数且R上可导，f(1)=2且f(x+2)=f(−x)，则下列说法正确的是( )
A. f(2025)=2B. 函数f′(x)为偶函数
C. f′(1)=1D. 函数f′(x)的周期为4
11.已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ>0,00满足ab=2，则1a+4b的最小值是______．
13.已知函数f(x)=ex−e−x，若f(m)=4，则f(−m)= ______．
14.已知编号为1，2的两个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球；2号盒子内装有两个1号球，一个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到2号球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量a=(1,x−1)，b=(2,3)．
(1)若b⊥(a+b)，求x的值；
(2)若向量c=(1,2)，b//(a+c)，求a与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=13ax3−12(a+1)x2+x+1(a≥1)．
(1)若a=3，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在R上的极值．
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，F为CD中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD，CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°．
(1)证明：A′B//平面CD′F；
(2)求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值．
18.(本小题15分)
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复.(提示：设An表示第n天选择绿豆汤)
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率；
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn，求出Pn的通项公式．
19.(本小题17分)
已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值；
(3)设函数g(x)=9x+m−1，若函数y=f(x)−g(x)在区间[−2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围．
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】2 2
13.【答案】−4
14.【答案】718
15.(1)由题意得a+b=(3,x+2)，
因为b⊥(a+b)，b=(2,3)，且a+b=(3,x+2)，
所以2×3+3(x+2)=0，解得x=−4；
(2)由题意得a+c=(2,x+1)，
若b//(a+c)，则由b=(2,3)，可得2(x+1)=2×3，解得x=2，
所以a=(1,1)，可得a⋅b=1×2+1×3=5，
因为|a|= 2，|b|= 4+9= 13，
所以a,b的夹角θ满足csθ=a⋅b|a||b|=5 2× 13=5 2626．
16.(1)若a=3，则f(x)=x3−2x2+x+1，
所以f′(x)=3x2−4x+1，则f′(1)=0，又f(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1；
(2)f′(x)=ax2−(a+1)x+1=(x−1)(ax−1)，a≥1，
当a=1时，f′(x)=(x−1)2≥0，f(x)单调递增，无极值；
当a>1时，令f′(x)=0，得x=1或x=1a，1a1时，函数f(x)的极大值为−16a2+12a+1，极小值为9−a6．
17.(1)证明：因为在四边形ABCD中，AB//CD，且EF//AD，所以▱AEFD，
又∠DAB=90°，所以四边形AEFD为矩形，
折叠后，显然EB//FC，EB⊄平面CD′F，FC⊂平面CD′F，
所以EB//平面CD′F，同理可证EA′//平面CD′F，
又EA′∩EB=E，所以平面EA′B//平面CD′F，又A′B⊂平面EA′B，
所以A′B//平面CD′F；
(2)由∠DAB=90°，EF//AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′，
所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′=60°，
结合CF∩FD′=F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF，
又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△，
如图以F为原点建立空间直角坐标系，设AB=3AD=6，则CD=2AD=4，
所以F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，D′(0,1, 3)，
所以FE=(2,0,0)，FD′=(0,1, 3)，CB=(2,2,0)，CD′=(0,−1, 3)，
设平面EFD′A′的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅FE=2x=0m⋅FD′=y+ 3z=0，可得m=(0,− 3,1)，
再设平面BCD′的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅CB=2x+2y=0n⋅CD′=−y+ 3z=0，解得n=(− 3, 3,1)，
设面BCD′与面EFD′A′所成二面角为θ，
则|csθ|=|m⋅n||m||n|=|0×(− 3)− 3× 3+1×1| (− 3)2+12 (− 3)2+( 3)2+12=1 7，
所以sinθ= 1−cs2θ= 427．
18.解：(1)该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为23×13=29；
(2)设A1表示第1天选择绿豆汤，A2表示第2天选择绿豆汤，则A1−表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，P(A1)=23,P(A1−)=13,P(A2|A1)=13,P(A2|A1−)=1−12=12，
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=23×13+13×12=718．
(3)设An表示第n天选择绿豆汤，则Pn=P(An),P(An−)=1−Pn，
根据题意得，P(An+1|An)=13,P(An+1|An−)=1−12=12，
由全概率公式得，P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(An−)P(An+1|An−)=13Pn+12(1−Pn)=−16Pn+12，
即Pn+1=−16Pn+12，
整理得，Pn+1−37=−16(Pn−37)，又P1−37=521≠0，
所以{Pn−37}是以521为首项，−16为公比的等比数列．
所以Pn−37=521×(−16)n−1，
所以Pn=521×(−16)n−1+37．
19.(1)由题f′(x)=3x2+2bx+c，
由题意知：f(3)=27+9b+3c+d=0f′(0)=c=0f(0)=d=0⇒b=−3c=0d=0⇒f(x)=x3−3x2；
(2)由f(x)定义域为R，f′(x)=3x2−6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2
当x变化时，f′(x)、f(x)变化如下：
因此f(x)极大值为f(0)=0，极小值为f(2)=−4；
(3)令y=f(x)−g(x)=0⇒m=x3−3x2−9x+1，
设ℎ(x)=x3−3x2−9x+1⇒ℎ′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
当x∈[−2,−1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[−2,−1)上单调递增，
当x∈(−1,1]时，ℎ′(x)