湖南省益阳市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
试题卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的概念计算即可.
【详解】根据交集的概念可知。
故选：C
2. 下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用特例法和不等式的基本性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，若，此时满足，
可得，则，所以A错误；
对于B，由，根据不等式基本性质，可得，所以B错误；
对于C，由可得，又，根据不等式性质可得，所以C正确；
对于D，由，可得，又由，可得，所以D错误.
故选：C.
3. 已知，那么的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为，
所以只有A选项是的一个必要不充分条件.
故选：A.
4. 下列各角中与角的终边相同的是（ ）
A. 66°B. 76°C. 116°D. 146°
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期性写出终边相同的角即可.
【详解】由，
故终边相同的角为.
故选：A
5. 已知实数，，则的最大值是（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解.
【详解】因为且，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
6. 函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用分式、根式的性质，结合对数函数单调性解不等式求函数的定义域.
【详解】由题设，可得，
所以函数的定义域为.
故选：D
7. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再根据奇函数得到即可.
【详解】因为时，，所以，
因为是定义在R上的奇函数，所以.
故选：C.
8. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得.
【详解】由题设，函数定义域为，且，
所以为奇函数，排除B、D，
当时，，故，排除C.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A. 幂函数的图象经过第一象限
B. 幂函数的图象都经过点
C. 当时，幂函数在上单调递增
D. 幂函数的定义域为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取，可判断选项C、D错误.
【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确；
因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确；
当时，函数定义域为，选项C、D错误；
故选：AB．
10. 下列各式的值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】对于A，由诱导公式得，故A错误；
对于B，由二倍角的正弦公式得，故B正确；
对于C，由二倍角的正切公式得，故C正确；
对于D，由辅助角公式得，故D错误；
故选：BC
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数有2个零点
C. 函数有4个零点
D. 若时，有成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、对数函数的性质画出函数图象，再由各项的描述及方程法、数形结合判断零点确定各项的正误.
【详解】由在上单调递增，且值域为，
由在上单调递增，且值域为，
所以大致图象如下，
由，A对，
令，即，结合图象知方程有两个根，B对，
令，即，则或，
所以或，，
所以或或，显然有3个零点，C错，
由题设及函数图象知，而，则，
所以，D对.
故选：ABD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由指数幂与对数运算公式，可得：.
故答案为：.
13. 已知点在角的终边上，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数定义以及诱导公式求解.
【详解】因为点在角的终边上，根据三角函数定义，，
其中，，所以，
根据诱导公式可得：.
故答案为：
14. 已知为锐角，若，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得，应用换元法，令及分类讨论、分式型函数的性质求的范围，即可得.
【详解】由题设，则，
所以，而，
所以，
令，则，则，
当时，，
当时，，
若，，当且仅当时取等号，此时
若，，当且仅当时取等号，此时，
综上，，故的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的补集运算即可求解；
（2）由得，根据集合子集运算即可求解.
【小问1详解】
全集，集合，
；
【小问2详解】
，又
，
实数的取值范围是.
16. 已知函数且．
（1）若，求的值；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，结合对数的运算，即可求解；
（2）根据题意，求得，令，结合二次函数的性质和对数函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
因为，可得，即，解得.
【小问2详解】
解：当时，可得，
则满足，解得，所以函数的定义域为，
即，
令，
当时，，
又因为在定义域内单调递减，所以.
17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则两项费用之和为11.6万元，若在距离车站10km处建仓库，则两项费用之和为10万元．
（1）求关于的函数表达式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少处，才能使两项费用之和最小？
【答案】（1），.
（2）距离车站处
【解析】
【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）得，总费用的关系式为，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，设，可得，解得，
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）得，总费用，
当且仅当，即时，等号成立，此时总费用最少，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，且，求的值；
（3）在中，若，求的取值范围．
【答案】（1）.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数的解析式为，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由（1）求得，利用三角函数的基本关系式，得到，结合，结合两角差的正弦公式，即可求解；
（3）由，可得，得到，化简则，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
由函数
.
令，解得，
所以函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知：，可得，
又因为，可得，
所以，
则．
【小问3详解】
由，可得，
因为，可得，所以，即，
则
，
又因为，可得，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
19 已知函数
（1）写出函数的定义域（不要求写过程）；
（2）利用函数单调性的定义证明函数在其定义域上单调递增；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质及指数函数的定义域确定解析式有意义时对应自变量范围，即可得函数的定义域；
（2）应用单调性的定义，任取且，应用作差法，结合指数、对数的运算性质证明单调性；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将问题化为，再应用三角函数、二次函数的性质求最值，即可得.
【小问1详解】
由，得，显然时恒成立，
若，则，显然也恒成立，
在上恒有意义，所以函数的定义域为.
【小问2详解】
任取，且，
则
，
.
，，
，又，
，，
，
，即．
在定义域上单调递增；
【小问3详解】
因为
，
所以，
由恒成立，得恒成立，
所以恒成立，
由（2）知在上单调递增，所以，
令，则，
，所以时，，则.