湘教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式精品学案及答案

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▉题型1 完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
1．如图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（ ）
A．12B．14C．16D．22
【答案】C
【解答】解：∵m+n＝8，mn＝15，
∴（m+n）2＝82，
m2+n2+2mn＝64，
m2+n2＝64﹣2×15＝34，
∵（m﹣n）2
＝m2+n2﹣2mn
＝34﹣2×15
＝34﹣30
＝4，
∴m﹣n＝±2，
∵m＞n，
∴m﹣n＝2，
∵S1=m2，S2=n2，
∴S1﹣S2
＝m2﹣n2
＝（m+n）（m﹣n）
＝8×2
＝16，
故选：C．
2．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解答】解：∵m﹣n＝3，
∴m2＝（n+3）2，
∴m2＝n2+6n+9，
∴m2﹣n2﹣6n＝9，
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．a8+a2＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：a2•a3＝a5，则A不符合题意，
（﹣a2）3＝﹣a6，则B符合题意，
a8与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则D不符合题意，
故选：B．
4．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯．
请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 ﹣220 ．
【答案】﹣220．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
……
依据规律可得到：
（a+b）2倒数第三项的系数为1，
（a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2，
（a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3，
…
∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55，
∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220，
故答案为：﹣220．
5．计算：（﹣x+2y）2＝ x2﹣4xy+4y2 ．
【答案】x2﹣4xy+4y2．
【解答】解：原式＝x2﹣2x•2y+4y2
＝x2﹣4xy+4y2．
故答案为：x2﹣4xy+4y2．
6．若x2+y2＝13，x﹣y＝3，则xy＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，
∴x2﹣2xy+y2＝9，
∵x2+y2＝13，
∴13﹣2xy＝9，
解得：xy＝2，
故答案为：2．
7．已知a−b=b−c=35，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于 −225 ．
【答案】−225．
【解答】解：根据题意，由a﹣b＝b﹣c=35可得：a﹣c=65，
由a2+b2+c2＝1可得2（a2+b2+c2）＝2，
再利用完全平方公式可得：2（a2+b2+c2）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2+2（ab+bc+ca），
将a2+b2+c2＝1，a﹣b＝b﹣c=35，a﹣c=65代入可得：
2×1＝（35）2+（35）2+（65）2+2（ab+bc+ca），
解得ab+bc+ca=−225．
▉题型2 完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
8．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
【答案】B
【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2−12×4•x−12×4•y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
9．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释，
故选：A．
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．36B．38C．40D．42
【答案】C
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：a2﹣b2﹣2b（a﹣b）＝4，
∴a2﹣b2﹣2ab+2b2＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
由图②得：（a+b）2﹣a2﹣b2＝18，
∴a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝18，
∴2ab＝18，
∴a2+b2＝22，
∴图②所示的大正方形的面积＝（a+b）2＝a2+2ab+b2＝18+22＝40，
故选：C．
11．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）根据（1）中的数量关系，解决下列问题：
①已知x﹣y＝5，xy＝﹣6，求x+y的值；
②已知a＞0，a−2a=1 求 a+2a 的值．
【答案】（1）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，证明见详解；（2）①x+y＝±1；②a+2a=3．
【解答】解：（1）存在关系为（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，理由如下：
左式＝m2+2mn+n2﹣（m2﹣2mn+n2）
＝4mn
＝右式．
（2）①（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2＝4×（﹣6）+52＝1，
∴x+y＝±1；
②（a+2a）2＝4×a×2a+（a−2a）2＝8+1＝9，
∵a＞0，
∴a+2a=3．
12．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ，图3： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式①a2+b2；②a+b的值．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①a2+b2＝17；②a+b＝3或﹣3．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①∵a﹣b＝5，
∴（a﹣b）2＝25，即a2+b2﹣2ab＝25，
∴a2+b2＝25+2ab；
将ab＝﹣4代入，得a2+b2＝25+2×（﹣4）＝17，
②∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣4）＝9，
∴a+b＝3或﹣3．
▉题型3 完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
13．若x2+mx+16是一个完全平方式，则m的取值是（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．±4
【答案】C
【解答】解：∵x2+mx+16＝x2+mx+42，
∴mx＝±2x•4，
解得m＝±8．
故选：C．
14．小方将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则a、b满足（ ）
A．a＝3bB．2a＝5bC．a＝2bD．2a＝3b
【答案】C
【解答】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，
由题意，得S1=12b（a+b）×2+12ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
S＝（a+b）2，
∵S＝3S2，
∴（a+b）2＝3（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：C．
15．如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣3D．9或﹣9
【答案】C
【解答】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式，
∴2a＝±（2×3），
则a＝3或﹣3，
故选：C．
16．若x2+mx+16是完全平方式，则m＝ ±8 ．
【答案】±8
【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8．
故答案为：±8．
17．已知：x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ±6 ．
【答案】±6．
【解答】解：∵x2+kx+9是完全平方公式，
∴k＝±6．
故答案为：±6．
18．已知4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，则常数m＝ 11或﹣13 ．
【答案】11或﹣13．
【解答】解：∵4x2﹣（m+1）x+9＝（2x）2﹣（m+1）x+32，
∴m+1＝±2×2×3，
∴m＝11或m＝﹣13．
故答案为：11或﹣13．
▉题型4 平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
19．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1，
20242﹣（20242﹣1）＝1＞0，
∴M＞N．
故选：A．
20．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（x+a）（x﹣a）B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣x﹣b）（x﹣b）D．（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
21．已知a2﹣b2＝30，且a+b＝﹣5，则a﹣b的值是（ ）
A．6B．5
C．﹣6D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：∵a2﹣b2＝30，
∴30＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝﹣5，
∴5•（a﹣b）＝30，
a﹣b的值为：
a﹣b＝﹣6．
故选：C．
22．已知三个实数a，b，c，满足a﹣2b+3c＝0，a2﹣9c2＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，a＞3cB．b＞0，a＜3cC．4b2＜12acD．4b2＞12ac
【答案】D
【解答】解：A．∵a﹣2b+3c＝0，
∴a+3c＝2b，
当b＜0，则a+3c＝2b＜0，
又∵a2﹣9c2＞0，即（a+3c）（a﹣3c）＞0，
∴a﹣3c＜0，
即a＜3c，
因此选项A不符合题意；
B．当b＞0，则a+3c＝2b＞0，
又∵（a+3c）（a﹣3c）＞0，
∴a﹣3c＞0，即a＞3c，
因此选项B不符合题意；
C．∵a2﹣9c2＞0，即（a+3c）（a﹣3c）＞0，
∴a﹣3c≠0，
∴（a﹣3c）2＞0，
∵a﹣2b+3c＝0，
∴2b＝a+3c，
∴4b2＝（a+3c）2＝（a﹣3c）2+12ac，
∴4b2＞12ac，
故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
23．若x2﹣y2＝20，且x+y＝﹣5，则x﹣y的值是（ ）
A．5B．4
C．﹣4D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣y2＝20，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∵x+y＝﹣5，
∴（x+y）（x﹣y）＝20，
∴x﹣y＝﹣4．
故选：C．
24．若（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，则x+y的值为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．±5
【答案】B
【解答】解：令x+y＝m，
∵（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，
∴（m+1）（m﹣1）＝8，
∴m2﹣1＝8，
解得：m2＝9，
∴m＝±3，
∴x+y＝﹣3，x+y＝3，
故选：B．
25．将2024×2026变形正确的是（ ）
A．20252﹣1B．20252+1
C．20252+2×2025+1D．20252﹣2×2025+1
【答案】A
【解答】解：原式＝（2025﹣1）×（2025+1）
＝20252﹣1，
故选：A．
26．计算：20252﹣2026×2024＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：20252﹣2026×2024
＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1）
＝20252﹣（20252﹣1）
＝20252﹣20252+1
＝1．
故答案为：1．
27．若x+y＝3，x﹣y＝7，则x2﹣y2的值为 21 ．
【答案】21
【解答】解：∵x+y＝3，x﹣y＝7，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3×7＝21，
故答案为：21．
▉题型5 平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
28．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
29．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是 24 ．
【答案】24．
【解答】解：∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴AB2﹣BE2＝48，BC＝AB，BD＝BE，
由图可得：
S阴影＝S△ACE+S△AED
=12AE⋅BC+12AE⋅BD
=12AE(BC+BD)
=12(AB−BE)(AB+BE)
=12(AB2−BE2)
=12×48
＝24，
故答案为：24．
30．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：20252﹣2023×2027．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①3；
②4．
【解答】解：（1）由图1可得，阴影部分的面积是a2﹣b2，
由图2可得，阴影部分的宽是 a﹣b，长是 a+b，面积是 （a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4m2﹣n2＝12，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，
∵2m+n＝4，
∴4（2m﹣n）＝12，
∴2m﹣n＝3；
②20252﹣2023×2027
＝20252﹣（2025﹣2）×（2025+2）
＝20252﹣（20252﹣22）
＝20252﹣20252+22
＝4．
题型1 完全平方公式
题型2 完全平方公式的几何背景
题型3 完全平方式
题型4 平方差公式
题型5 平方差公式的几何背景