数学八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理备课课件ppt

这是一份数学八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理备课课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了思考3归纳总结，∠A90°，∠C90°，试一试，直角三角形，解连接AC，∠APC∠CDB，没有变形，∴CE⊥AB，∴AB＝25等内容，欢迎下载使用。
思考1 古埃及人曾用下面的方法得到直角：
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图．这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你知道为什么吗?
用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C，它是90°吗?
思考2 尺规作图
△ABC的三边长满足AC²+BC²=AB²，则∠C为多少度?
根据前面思考1、2，猜想∠C=90°.
1.用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第13个结与第1个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数，可以发现这个三角形是直角三角形．
为什么这样画出来的三角形是直角三角形呢？
你能写出勾股定理的逆命题吗？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
知识模块　勾股定理的逆定理
什么是勾股定理的逆定理？如何证明？
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．证明如下：已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个直角三角形A′B′C′，
使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a.
由勾股定理，得A′B′2＝a2＋b2.
又∵a2＋b2＝c2，
∴A′B′2＝c2，A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，
BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C＝∠C′＝90°.∴△ABC是直角三角形．
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
接下来我们一起来证明这个定理.
问题4 据此能得到什么结论呢?
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2.
△ABC是直角三角形.
作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
则有A'B'2 =a2+b2.
∵ a2+b2=c2，∴ A'B'2 =c2.
∵边长取正值，∴ A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴ ∠C=∠C'=90°(全等三角形对应角相等），
∴ △ABC是直角三角形.
例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.（1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11.
【分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．】
解 （1）∵72+242 =25²，
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角．
（2）∵最大边是c=11，c²=121， a2+b2 =72+82 =113，
∴△ABC不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，比如：3，4，5；5，12，13.
∴a2+b2 =c2.
∴a2+b2 ≠c2.
解 (1)∵152+82 =225+64=289=172 ，
（2）∵最大边是c=15，c²=225，a2+b2 =132+142 =365，
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角．
∴152+82 =172.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ ________ ;
(3) a:b: c=3:4:5 _____ _________ .
例2　已知：在△ABC中，三边长分别为a=n²-1,b=2n，c=n²+1(n > 1). 求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a²+b²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =2， ∴△ABC为直角三角形.
根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形.
例3　如图，营地A与哨所B相距10 km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗?
解：由题意，得AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km，
勾股定理的逆定理在实际生活中的应用.
∵6²+8² =10²，
∴AC² +BC²=AB².∴∠ACB =90°.
又∵AD // PO，∴∠ACP = ∠DAC =34°.
∴∠BCQ =180°- 90°- 34°= 56°.
答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处.
仿例1：△ABC的三边长为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则 ( )A．a边的对角是直角　　　　　　　　B．b边的对角是直角C．c边的对角是直角 D．△ABC是斜三角形
范例2：长度分别是9，12，15，36，39的五根木棒，从中任意选取3根，首尾相连，能构成直角三角形的选法有 ( )A．1种　　　 B．2种　　　　C．3种　　　 D．4种
仿例：如图，有一块四边形菜地ABCD，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，DA＝13 cm，求四边形ABCD的面积．
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝42＋32＝25，∴AC＝5 cm.
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠DCA＝90°.
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
2.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
解：如图，连结PD ，
易得∠CDP=45°，BD=AP=1,
∴△PDB是直角三角形，∠BDP=90°.
∴∠APC=∠CDB=∠CDP+∠BDP=135°.
4. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4 m和1 m，又测得点A与点C间的距离为2.6 m，则小红家的木门__________(填“已变形”或“没有变形”).
5．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．(12分)
[变式] 如图，以△ABC的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则△ABC的面积为 ⁠.
7. 已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积为（　A　）A. 30 B. 60 C. 78 D. 不能确定
8. 如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝2.4，BE＝1.8.（1）试判断CE与AB是否垂直，并通过计算说明理由；
解：（1）CE⊥AB. 理由如下：
∵CE2＋BE2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，
∴CE2＋BE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
8. （2025·安庆潜山期中）如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝2.4，BE＝1.8.（2）若△ABC的面积为3，求AC的长.
∴AE＝AB－BE＝2.5－1.8＝0.7，
9. （易错）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　C　）A. b2－c2＝a2B. a∶b∶c＝3∶4∶5C. ∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15D. ∠C＝∠A－∠B