初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理备课ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理备课ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了学习目标，勾股定理，勾股定理的逆定理，填一填，解连接AC，用到了方程的思想等内容，欢迎下载使用。
1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际题.(重点)2. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. (难点)
回顾旧知 你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗?
a2 + b2 = c2 (a，b 为直角边，c 为斜边)
Rt△ABC 中∠C 是直角
△ABC 中 a2 + b2 = c2 (a，b 为较短边，c 为最长边）
△ABC 为直角三角形，且∠C 是直角
(2) 等腰△ABC 中，AB = AC = 10 cm，BC = 12 cm， 则 BC 边上的高是 cm.
(1) 已知 △ABC 中，BC = 41，AC = 40，AB = 9，则 此三角形为 三角形， 是最大角.
思考 前面我们已经学习了运用勾股定理解决实际生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？
勾股定理的逆定理的应用
例1 已知：在 △ABC 中，三边长分别为 a = n2 -1，b = 2n，c = n2 + 1 ( n >1 ) .求证：△ABC 为直角三角形
证明 ∵a2 + b2 = ( n2 - 1 )2 + ( 2n )2= n4 - 2n2 + 1 + 4n2= n4 + 2n2 +1= ( n2 + 1 )2= c2 ∴△ ABC 为直角三角形.
例2 如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A，你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗 ?
解 由题意 ，得 AB =10 km ，AC = 6 km，BC = 8 km.∵ 62 + 82 =102 . ∴AC2 + BC2 = AB2.∴ ∠ACB = 90°.又∵AD // PQ，∴∠ACP = ∠DAC = 34°.∴∠BCQ = 180° - 90° - 34° = 56°.答: 哨兵在 C 处是沿南偏西 56° 的方向到达哨所 B 处.
归纳 解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.
【变式题】如图，南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上 10 时 28 分，我边防反偷渡巡逻101号艇在 A 处发现正西方向的 C 处有一艘可疑船只正向我领海靠近，便立即通知在 PQ 上 B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC = 10 海里，BC = 8 海里，AB = 6 海里，若该船只的速度为 12.8 海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定理可得 △ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理及面积公式可求出 BD 的长，再利用勾股定理便可求得 CD 的长，进而求得所需时间.
解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8，∴ AC2 = AB2 + BC2，即△ABC 是直角三角形.根据三角形面积公式有 BC·AB = AC·BD，即 6×8 = 10BD，解得 BD =在 Rt△BCD 中，
又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时，6.4÷12.8 = 0.5(小时) = 30 (分钟).∴ 可疑船只最快需要 30 分钟进入我领海，即最早在晚上 10 时 58 分进入我领海.
例3 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗?
在△BCD 中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.因此，这个零件符合要求.
解：在 △ABD 中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
1. A、B、C 三地两两间的距离如图所示，A 地在 B 地的 正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，AC2 = 132 = 169，∴ BC2 + AB2 = AC2.即△ABC 是直角三角形，∠B = 90°.答：C 地在 B 地的正北方向．
2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m，AC = 9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格.
解：∵ AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m， ∴ AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100． 又∵ AC2 = 92 = 81， ∴ AB2＋BC2 ≠ AC2． ∴∠ABC ≠ 90°． ∴ 该农民挖的不合格．
例4 如图，四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形 ABCD 的面积.
解析：连接 AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判定 △ACD 是直角三角形.
勾股定理及其逆定理的综合应用
在 Rt△ABC 中，在 △ACD 中，AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2，∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°.∴S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36.
归纳 四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形转化成两个三角形.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理经常一起使用.
【变式题1】如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.
解：连接 BD.在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 BD2 = AB2+AD2 = 42 + 32，∴ BD = 5 cm.又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.∴ S四边形ABCD = SRt△BCD - SRt△ABD = BD•CD - AB•AD = ×(5×12 - 3×4) = 24 (cm2)．
【变式题2】如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC = 12 cm，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求 △ABC 的面积.
解: ∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝12 cm. ∴ AC = 5 cm. 又∵ ∴△ABC 是直角三角形，∠B 是直角. ∴
（1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2. ∴ △BDC 是直角三角形.（2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1. 在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22， 解得
例5 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC = ，BD = 2．（1）求证：△BCD 是直角三角形；（2）求△ABC 的面积．
1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东 25° 方向，且到医院的距离为 300 m，公园到医院的距离为 400 m. 若公园到超市的距离为 500 m，则公园在医院的北偏东 的方向.
2. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
A B C D
3. 如图，某探险队的 A 组由驻地 O 点出发，以 12 km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地 O 出发，以 9 km/h的速度向另一个方向前进，2 h 后同时停下来，这时 A，B 两组相距 30 km．问 A，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：出发 2 小时，A 组行了 12×2 = 24 (km)，B 组行了 9×2 = 18 (km)．∵ A，B 两组相距 30 km，且 242 + 182 = 302，∴ △AOB 为直角三角形，即 A，B 两组行进的方向成直角．
4. 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上的中线 AD = 15，试说明：AB = AC.
解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线， ∴ BD = CD = BC = 8. ∵ 在 △ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2， ∴ △ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°． ∴ △ADC 是直角三角形. 在 Rt△ADC 中， ∴AB = AC.
5. 在寻找某坠毁的飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A，B．于是，一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发，1.5 小时后，他们同时分别到达目标 A、B，此时，他们相距 30 海里．问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24(海里)，OB = 12×1.5 = 18(海里)，∵OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900，AB2 = 302 = 900，∴OB2 + OA2 = AB2.∴∠AOB = 90°.∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O 沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，即∠AOD = 40°，∴∠BOD = 50°.即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．