湖北省随州市部分高中2026届高三下学期2月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答:用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知全集 U=R ，集合 A={x∣2−x>3} ，则 CUA= ( )
A. −∞,−1 B. (−∞,−1] C. −1,+∞ D. [−1,+∞)
2. 下列函数中,在 0,+∞ 内单调递增的是 ( )
A. fx=sin2x B. fx=xex
C. fx=x3−x D. fx=−x+lnx
3.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 c0 的焦点到直线 y=x+1 的距离为 2 ，则 p= ( )
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4
7.现要完成下列 2 项抽样调查:
① 从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;
②东方中学共有 160 名教职工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本.
较为合理的抽样方法是( )
A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，② 分层随机抽样
C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法，②随机数法
8. 圆 x2+y2−2x+6y+8=0 的面积为( )
A. 8π B. 4π C. 2π D. π
二、选择题:本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 fx 是定义在 R 上不恒为 0 的奇函数， gx 是 fx 的导函数，则()
A. ffx 为奇函数 B. ggx 为偶函数
C. fgx 为奇函数 D. gfx 为偶函数
10. 如图，在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=2CD ， AC 与 BD 相交于点 O ，则()

A. AC−AD=12AB B. OA+2OC=0
C. OA=23CD+13CB D. AB+BC+CD+DA=0
11. 已知圆 M:x2+y2−6y+5=0 ,圆 N:x2+y2+2y−8=0 ,直线 l:3x−4y+m=0 , 则下列说法正确的是 ( )
A. 圆 N 的圆心为 0,1
B. 圆 M 与圆 N 相交
C. 当圆 M 与直线 l 相切时， m=2
D. 当 m=7 时,圆 M 截直线 l 所得的弦长为 23
三、填空题: 本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知函数 fx=x3−ax 在区间 0,1 上单调递减，则实数 a 的取值范围是_____.
13. 已知向量 a,b 满足 a=1,b=2,1 ，且 λa+b=0λ>0 ，则 λ= _____.
14. 已知点 P 在抛物线 C:y2=2pxp>0 上，过点 P 作 C 的准线的垂线，垂足为 H ，点 F 为 C 的焦点. 若 ∠HPF=60∘ ，点 P 的横坐标为 1，则 p= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分
15. (本小题满分 15 分)
已知函数 fx=ex−asinx (其中 e=2.71828⋯ 为自然对数的底数),0 为 fx 的一个极值点.
(1)求 a 的值；(7 分)
(2)证明: fx>x .
16. (本小题满分 15 分)
已知数列 an 为正项等差数列,数列 bn 为递增的正项等比数列, a1=1,a1−b1=a2− b2=a4−b3=0.
(1)求数列 an,bn 的通项公式；(7 分)
(2)数列 cn 满足 cn=an,n为奇数,求数列cn 的前 2n 项和 T2n . (8 分)
17. (本小题满分 15 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中,平面 PCD⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是梯形, AB//CD , AB⊥AD,E,F 分别是棱 BC,PA 的中点.

(1)证明: EF// 平面 PCD ；(7 分)
(2)若 PC=3PD=3CD=3AD=23AB ，求直线 EF 与平面 PAD 所成角的正弦值. (8 分)
18. (本小题满分 16 分)
斜三棱柱 ABC−A1B1C1 的各棱长都为4， ∠A1AB=60∘ ，点 A1 在底面 ABC 上的投影为 AB 的中点 O .

(1)在棱 BB1 (含端点)上是否存在一点 D ,使得 A1D⊥AC1 ? 若存在，求出 BD 的长；若不存在, 请说明理由. (8 分)
(2)求点 A1 到平面 BCC1B1 的距离. (8 分)
19. (本小题满分 16 分)
已知数列 an,bn 满足 a1=b1=1,bn+1=anan+2bn ,记 Tn 为 bn 的前 n 项和.
(1)若 an 为等比数列,其公比 q=2 ,求 Tn ; (8 分)
(2)若 an 为等差数列，其公差 d=2 ，证明: Tn3} ，则 CUA= ( )
A. −∞,−1 B. −∞,−1 C. −1,+∞ D. [−1,+∞)
【答案】D
【解析】 A={x∣2−x>3}={x∣x0 ,故B 正确; 对于 C,f′x=3x2−1 ,因为 f′13=−230 时, y′>0,y=ex−x−1 单调递增;
当 xsinx+x ,即 fx>x .
16. (本小题满分 15 分)
已知数列 an 为正项等差数列,数列 bn 为递增的正项等比数列, a1=1,a1−b1=a2−b2=a4−b3= 0.
(1)求数列 an ， bn 的通项公式，(7 分)
(2)数列 cn 满足 cn=an,n为奇数,求数列cn的前2n项和T2n. (8 分)bn,n为偶数,
【解析】
(1)设等差数列 an 的公差为 d ,等比数列 bn 的公比为 q ，
因为 a1=1,a1−b1=a2−b2=a4−b3=0 ,
所以 1+d=q,1+3d=q2, 解得 q=1,d=0 或 q=2,d=1,
因为数列 bn 为递增数列,
所以 q=2,d=1 ,
所以 an=1+n−1×1=n,bn=1×2n−1=2n−1 .
(2)由(1)得 cn=n,n为奇数,2n−1,n为偶数,
所以数列 cn 的前 2n 项和 T2n=1+3+⋯+2n−1+21+23+⋯+22n−1=n1+2n−12+ 21×1−4n1−4=3n2+22n+1−23.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，平面 PCD⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是梯形， AB//CD ， AB⊥AD ， E ， F 分别是棱 BC , PA 的中点.

(1)证明: EF// 平面 PCD ；(7 分)
(2)若 PC=3PD=3CD=3AD=23AB ，求直线 EF 与平面 PAD 所成角的正弦值.(8 分) 【解析】
(1)证明: 取 AD 的中点 H ,
连接 EH,FH .
因为 F,H 分别是棱 PA,AD 的中点,
所以HF//PD,
又因为 PD⊂ 平面 PCD , HF⊄ 平面 PCD ,
所以HF// 平面 PCD ,
因为 E,H 分别是棱 BC,AD 的中点,
所以HE//CD,
又因为 CD⊂ 平面 PCD,HE⊄ 平面 PCD ,
所以 HE// 平面 PCD ,
又因为 HE,HF⊂ 平面 HEF ,且 HE∩HF=H ,
所以平面 HEF// 平面 PCD ,
又因为 EF⊂ 平面 HEF ,
所以 EF// 平面 PCD .
(2)以 D 为坐标原点， DA ， DC 的方向分别为 x,y 轴的正方向，垂直平面 ABCD 向上的方向为 z 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.

设 AB=1 ,则 AD=CD=PD=2,PC=23 .
所以在 △PDC 中, cs∠PDC=4+4−122×2×2=−12 ,
则 ∠PDC=120∘ ,
所以 A2,0,0,D0,0,0,P0,−1,3,E1,32,0,F1,−12,32 ,
故 DA=2,0,0,DP=0,−1,3,EF=0,−2,32 .
设平面 PAD 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅DA=0,n⋅DP=0⇒2x=0,−y+3z=0,
令 y=3 ,得 n=0,3,1 .
设直线 EF 与平面 PAD 所成的角为 θ ，
则 sinθ=cs⟨n,EF⟩=n⋅EFn⋅EF=3322×4+34=35738 ,
即直线 EF 与平面 PAD 所成角的正弦值为 35738 .
18. (本小题满分 16 分)
斜三棱柱 ABC−A1B1C1 的各棱长都为4， ∠A1AB=60∘ ，点 A1 在底面 ABC 上的投影为 AB 的中点 O .

(1)在棱 BB1 (含端点)上是否存在一点 D ，使得 A1D⊥AC1 ？若存在，求出 BD 的长；若不存在，请
说明理由. (8 分)
(2)求点 A1 到平面 BCC1B1 的距离. (8 分)
【解析】
(1)存在 ∴ 点 A1 在底面 ABC 上的投影为 AB 的中点 O ，
∴A1O⊥ 平面 ABC ,
连接 OC ,由题意知 △ABC 为正三角形,故 OC⊥AB ,
以 O 为原点, OA,OC,OA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A2,0,0,A10,0,23,B−2,0,0,B1−4,0,23,C1−2,23,23 ,
则 BB1=−2,0,23,AC1=−4,23,23 ，
假设在棱 BB1 (含端点) 上存在一点 D ,使得 A1D⊥AC1 ,
设 BD=λBB1=λ−2,0,23,λ∈0,1 ,则 D−2λ−2,0,23λ ,
∴A1D=−2λ−2,0,23λ−23 ,
∵A1D⊥AC1,∴A1D⋅AC1=0 ,即 42λ+2+2323λ−23=0,∴λ=15 ,
∴BD=15BB1=45 .
(2)由(1)知 B−2,0,0,C0,23,0,BC=2,23,0 ,
设平面 BCC1B1 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅BB1=0,n⋅BC=0,∴−2x+23z=0,2x+23y=0,
令 x=3 ,则 z=1,y=−1 ,
∴n=3,−1,1 ,
易知 A1B=−2,0,−23 ,
则 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 A1B⋅nn=435=4155 .
19. (本小题满分 16 分)
已知数列 an,bn 满足 a1=b1=1,bn+1=anan+2bn ,记 Tn 为 bn 的前 n 项和.
(1)若 an 为等比数列,其公比 q=2 ,求 Tn ; (8 分)
(2)若 an 为等差数列，其公差 d=2 ，证明: Tn