湖北省随州市部分高中2024−2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省随州市部分高中2024−2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b＋cB．a－b＋c
C．a＋b－cD．－a＋b＋c
2．若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
3．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．已知椭圆的两个焦点分别为， 为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知等差数列前n项和为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”
10．设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
三、填空题（本大题共3小题）
12．经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为 .
13．已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为 .
14．在数列中，，，则通项公式 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在长方体中，，为的中点.
（1）求证：.
（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
17．在数列中，，.
(1)设，求证数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
18．记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
19．在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】A
【详解】由题意得，解得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】当直线与直线平行时，
，解得，
当时，直线与直线重合，
所以是的既不充分也不必要条件，
故选D.
5．【答案】D
【详解】由题意，故，又，则
焦点在轴上，故椭圆的标准方程为
故选D.
6．【答案】D
【详解】数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选D.
7．【答案】B
【详解】解：由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选B．
8．【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，
由题设，，可得，
∴.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；
对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；
对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，
若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，
所以和均为的最大值，所以D正确.
故选ABD.
11．【答案】AB
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，则（*）不成立；
所以，则，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，
则是数列中的最大值，故C错误，D错误.
故选AB.
12．【答案】
【详解】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l，
所以直线l的方程可设为，
因为圆M的中心到直线l的距离等于2，
所以，
因为短轴长是焦距的2倍，所以，
因此有，
所以椭圆M的方程为.
13．【答案】12
【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，
连接，
所以周长为
故的周长的最大值为12.
14．【答案】
【详解】因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以.
15．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.
设，则，，，，，
故，，，.
因为，所以.
（2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时.
又设平面的法向量，
所以，得，取，得平面的一个法向量.
要使平面，只要，有，解得.
又平面，所以存在点，满足平面，此时.
16．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在数列中，，，则当时，有，
两式相减得：，而，即，则有，
整理得，即，
所以数列是等差数列.
（2）由得：，而，则，，，
因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，于是得：，
所以数列的通项公式.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为①，则②
①－②可得
，
故为等差数列．
（2）若当且仅当时，取得最大值，
则有,得则，，
故的取值范围为．
19．【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【详解】（1）方案一：选条件①.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
方案二：选条件②.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
∴
方案三：选条件③.
∵点在直线上，
∴，∴，
两式相减，整理得，当时，，得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）可得，，则，
，
两式相减得
∴.