初中数学1 三角形内角和定理评课课件ppt

这是一份初中数学1 三角形内角和定理评课课件ppt，共119页。PPT课件主要包含了三角形内角和定理，全等三角形，第二课时，还有其他证法吗，三角形的外角，第三课时，你还有其他的方法吗，五边形，三角形，转化思想等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明三角形内角和定理、全等三角形的判定定理(AAS).2. 掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定定理和性质，并能解决简单问题，进一步发展推理能力.
在八年级上册“证明”一章中，我们给出了八条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.
知识点1 三角形内角和定理
思考我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?测量法60°+48°+72°=180°
思考我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?折叠法
思考我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移，然后借助平行线的判定与性质证明这个结论.
思考(1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗?
如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
思考如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移.如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果.
思考(2) 你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程.
已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B.∵ 点B，C，D在同一条直线上，∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°，∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
思考(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?
可行.∵ PQ∥BC(已知)，∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).
思考(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，∵ MD∥ AC ， ND∥ AB，∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A . 又∠1+∠2+∠3=180°，∴ ∠C+∠A+∠B=180°.
为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
思考我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?
知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， 在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，∵ ∠A=∠D，∠B=∠E，∴ ∠C=∠F.又∵ BC=EF，∠B=∠E，∴ △ABC≌△DEF(ASA) .
根据全等三角形的定义，我们可以得到
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
跟踪训练 已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2， 试说明：AB=AD.
1. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°.证明：在△ABC中，∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)，∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°(三角形内角和定理).又DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等).
2. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.解：∵ BD与CE是△ABC的高，∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°.∵ ∠A=50°，∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°，∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°，∴ ∠COD=∠BOE=50°.
3. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试证明∠DAC与∠EBC的数量关系．证明：因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．所以∠DAC＝∠EBC．
4. 已知：点F在AB上，点E在AC上，BE和CF相交于点O，AE=AF，∠B=∠C. 求证： BF=CE.证明：在△ABE和△ACF中，∴ △ABE≌ △ACF (AAS)，∴ AB=AC (全等三角形对应边相等).∵ AE=AF，∴ AB-AF=AC-AE (等式性质)，∴ BF=CE.
5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.(1) 你能在图中找出一对全等三角形吗? 并说明全等的理由；
证明：能， △BDA≌△AEC.∵ BD⊥m，CE⊥m，∴ ∠ADB＝∠CEA＝90°，∴ ∠B＋∠BAD＝90°.∵ AB⊥AC，∴ ∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠B＝∠CAE.
5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.(2) 试探索BD、CE、DE之间的关系.
∵ △BDA≌△AEC，∴ BD＝AE，AD＝CE，∵ DE＝AD＋AE∴ DE＝CE＋BD.
判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等
三角形三个内角的和等于180°
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
1. 理解三角形外角的概念.2. 掌握三角形内角和定理的推论，并会运用它们解决问题.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角.
外角的一条边是该内角的一边
外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线
外角的顶点是该内角的顶点
如图，∠1是△ABC的一个外角.问题你能在图中画出△ABC的其他外角吗?每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
知识点 三角形外角的性质
思考∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论.
∠1 +∠4 =180°，∠1=∠2+∠3，∠1>∠2，∠1>∠3.
证明如下：∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)，∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)，∵∠1+∠4=180°(平角的定义)，∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)，∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)，∴ ∠1>∠2，∠1>∠3.
由三角形内角和定理，可以得到推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.由此可得推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC ?
∠DAC=∠C或者∠EAD=∠B或者∠DAB+∠B=180°
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC>∠A.分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理?这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么?你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗?三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠BPC>∠A.
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC>∠A.
有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D，∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，即∠BPC>∠BAC.
1. 如图，∠1，∠2是不是△ABC的外角?图中还有哪些角可以看作一个三角形的外角?解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角.图中∠BAC，∠BFE是△AEF的外角，∠BAE是△ABC的外角.
2. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数.解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°，∴ ∠B=55°.∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°，∴ ∠ACB=80°.
3. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定
4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度?解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠ABC+∠BAC，∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC =2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
5. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
6. 在△ABC中，若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，E为线段BD上任一点，∠CDB=90°.(1)求∠ABD的度数.
解：∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5(已知)，∴可设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x.由题意得3x+4x+5x=180°(三角形内角和定理)，解得x=15°，∴∠A=45°.又∠CDB=∠A+∠ABD=90°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°.
(2) 求证：∠BEC>∠A.证明： ∵ ∠BEC是△CDE的一个外角(外角的定义)，∴ ∠BEC>∠BDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵ ∠BDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，∴ ∠BDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴ ∠BEC>∠A.
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1. 通过观察、分析，会把多边形问题转化成三角形问题，进而解决问题，渗透转化思想.2. 掌握多边形的内角和定理.3. 掌握多角度解题与方法归纳技能，积累解决几何问题的经验(如添加合适的辅助线)，提升解决问题的能力.
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.
思考(1) 这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗?
(1) 我们已经学过了三角形的内角和，可考虑将五边形分割为若干个三角形，然后借助三角形的内角和进行计算.也可以通过度量来获取五边形的内角和.
(2) 小明、小亮分别利用图1和图2求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗?
图1 图2
小明、小亮的方法都是把五边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.
小明是将五边形的五个内角分割在3个三角形中，3个三角形的内角和即为五边形的内角和.
小亮是将五边形分割成5个三角形，用5个三角形的内角和减去 360°即得五边形的内角和.
五边形内角和等于这四个三角形的内角和减去在点P处的一个平角.
分割点与多边形的位置关系
五边形的内角和为540°
思考 (1) 按照图1的方法，六边形能分成多少个三角形?n(n是大于或等于3的自然数)边形呢?你能确定n边形的内角和吗?(1) 六边形能分成4个三角形.n边形能分成(n-2)个三角形.n边形的内角和为(n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
知识点 多边形的内角和定理
(2) 按照图2的方法再试一试.(2) 六边形能分成6个三角形.n边形能分成n个三角形.n边形的内角和为n·180°-360°= (n-2)·180°.(n是大于或等于3的自然数)
多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系?解：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°= 360°，∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.
说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
思考 (1) 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度?
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
思考 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形?它的内角和是多少度?剪掉一个角后，分以下3种情况：(1) 纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°；(2) 纸片剩下4个角，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°；(3) 纸片剩下3个角，得到的三角形的内角和为180°.
1. 一个六边形的内角和等于(　　) A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
解析：一个六边形的内角和等于(6-2)×180°=720°.
2. 一个多边形的内角和可能是5 100°吗?为什么?解：不可能.理由如下：当(n-2)×180°=5 100°时，解得n≈30.3，不是整数，所以5 100°不可能是一个多边形的内角和.
3.将一个n边形变成(n+1)边形，内角和将(　　) A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360°
5. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，求∠AKH的度数. 解：∵ 八边形ABCDEFGH为正八边形，∴ ∠HAB=∠ABC=(8-2)×180°÷8=6×180°÷8=135°，AH=AB=BC，∴ ∠BAC=∠BCA=∠ABH=∠AHB=(180°-135°)÷2=22.5°，∴ ∠AKH=∠BAC+∠ABH=22.5°+22.5°=45°.
证明思路：将n边形的内角和问题化归为三角形的内角和问题
n边形的内角和等于(n-2)·180°(n是大于或等于3的自然数)
1. 了解多边形的外角的定义，并能准确找出多边形的外角.2. 掌握多边形的外角和定理，能利用内角和与外角和公式解决实际问题.
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.
思考(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角.
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度?(2) 360°.因为小刚跑完一圈后方向和出发时方向一样，所以跑步方向改变的角的总和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
思考如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样?所以公园步道的形状是六边形、八边形时，改变的角的总和仍为360°.
跑完一圈后方向和出发时方向一样，所以跑步方向改变的角的总和是360°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角.你知道n边形有几个外角吗?如图，∠6也是五边形ABCDE的外角,所以n边形有2n个外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
通过前面的探究可以发现：五边形、六边形、八边形的外角和为 360°.
如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.
现以五边形为例，证明这一结论.
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEA=180°，∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°，∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
如果是n边形，它的外角和是多少呢?猜想：n边形的外角和都是360°.理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角，它们的和是180°，∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，又∵n边形的内角和为(n-2)×180°，∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°．
定理 多边形的外角和等于360°.
注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形?解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得(n-2)·180°=3×360°.解得 n=8.所以，这个多边形是八边形.
思考研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法? 转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和.多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和.
1. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角，若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= .解析：∵ ∠A=120°，∴与∠A相邻的外角的度数为180°-120°=60°.∵∠1，∠2，∠3，∠4和与∠A相邻的一个外角的和为 360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°.
2. “花影遮墙，峰峦叠窗”，校园一角空透的窗棂(如图1)蕴含着许多数学元素，如图2是窗棂中的部分图案，若∠1=∠2=72°，∠3=∠4，∠5=86°，则∠3的度数是 .
解析：由多边形的外角和定理可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.∵ ∠1=∠2=72°，∠3=∠4，∠5=86°，∴ 2×72°+2∠3+86°=360°，解得∠3=65°.
3. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.A. 6 B. 7 C. 8 D. 9解析：设这个多边形的边数为n，180°·(n-2)=360°×4，解得n=10，∴ 这个多边形是十边形，∴ 从这个多边形的一个顶点处可以引10-3=7(条)对角线.
4. 多边形中小于120°的内角最多有几个?解：∵ 多边形的内角小于120°，∴ 外角大于60°，∵ 360°÷60°=6.∴ 这个多边形小于120°的内角的个数最多有5个.
5. 如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时.(1)整个行走路线是什么图形?(2)一共走了多少米?解: (1)由题意知行走路线是一个正多边形，设其边数为n，则n=360°÷40°=9，所以整个行走路线是正九边形.(2)8×9=72(米)，故一共走了72米.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和
多边形的外角和等于360°
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角