安徽省定远县第三中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷）（含答案）

这是一份安徽省定远县第三中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列7，25，79，241，⋯的一个通项公式为( )
A. an=3n−2B. an=3n+4C. an=3n+1−2D. an=3n+1+4
2.直线x− 3y−1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.已知F1,F2是椭圆C:x264+y236=1的左､右焦点，P是C上一点，若PF1=6，则PF2=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.已知向量a=( 3,0,1)，向量b=(1,0, 3)，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. ( 3,0,1)B. ( 32,0,32)C. (1,0, 3)D. (32,0, 32)
5.“a=−13“是“A(−3,−4)，B(6,3)两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件
6.已知圆C经过抛物线y2=8x的焦点，且与直线y=x相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为( )
A. (x+1)2+(y−1)2=2B. (x+1)2+(y−1)2=4
C. (x−1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y+1)2=4
7.已知数列an满足a1=1,an−an−1=nn≥2，设数列{1an}的前n项和为Sn，则S2026=( )
A. 10121013B. 20252027C. 20251013D. 40522027
8.已知M，N是圆O:x2+y2=8上两点，且|MN|=4，若直线x−ay+6=0上存在点P使得OM+ON=OP，则实数a的取值范围为( )
A. −∞,− 52∪ 52,+∞B. −∞,− 52∪ 52,+∞
C. − 52, 52D. − 52, 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(−2,1)的抛物线的标准方程是( )
A. y2=12xB. y2=−12xC. x2=4yD. x2=−4y
10.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，∀m，n∈N∗，am+n=anam，且Sk=39，则( )
A. 数列{an}为等比数列B. 数列{an}是递增数列
C. k=4D. 数列{lg3an}是等比数列
11.已知点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，则( )
A. 存在点P，使得AP=13AB+13AD+13AA1
B. 若E是AB中点，当P在棱B1C1上运动时，存在点P使得PE=PD
C. 当P在线段B1D1上运动时，AP与BD所成角的取值范围是[π3,π2]
D. 若F是A1B1的中点，当点P在底面ABCD上运动时，存在点P使得PF//平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的一个方向向量为m=−2,k,1，平面α的一个法向量为n=2,3,−2，且l//α，则k= ．
13.记等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a7b12=2318，则S13T23= ．
14.已知点A是椭圆C：x24+y23=1的右顶点，定点Tt,0在x轴上，点S为椭圆C上一个动点，当ST取得最小值时点S恰与点A重合，则实数t的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}中，a3=4，a6=−2．
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，求Sn=an时n的值．
16.(本小题15分)
已知圆M经过A(0,3)，B(−1,0)，C(7,4)三点．
(1)求圆M的标准方程;
(2)过点S(1,1)的直线l与圆M交于P，Q两点，若|PQ|=2 17，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，M为AC的中点，G为线段PC上一点，AB=BC=2，AP=BP=3．
(1)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值;
(2)若PGPC=14，求点G到平面PMB的距离．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为 3x−y=0，点P−2,3在C上，直线l与C交于A,B两点．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的中点坐标为3,−1，求直线l的方程；
(3)若M为C的左顶点，直线l过C的右焦点F，A，B都在C的右支上，▵MAB的面积为18 5，O为坐标原点，求OA⋅OB．
19.(本小题17分)
已知数列an满足a1=3且an+1=3an−2．
(1)证明：数列an−1是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)设bn=nan，求数列bn的前n项和Sn；
(3)令cn=−1ncsnπan，记cn的前n项和为Tn，证明：Tn03−k2≠0x1+x2=−4k23−k2>0x1x2=−4k2−33−k2>0，所以k2>3，
所以AB= 1+k2 x1+x22−4x1x2= 1+k2 −4k23−k22−4×−4k2−33−k2=61+k2k2−3，
又点M到直线l的距离为d=−3k 1+k2=3k 1+k2，
所以12ABd=12×61+k2k2−3×3k 1+k2=18 5⇒k2=4519(舍去)或k2=4，
则x1x2=19，y1y2=k2x1−2x2−2=k2x1x2−2x1+x2+4=419−2−4k23−k2+4=−36，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=19−36=−17．

19.解：(1)因为a1=3且an+1=3an−2，
所以an+1−1=3an−1，即an+1−1an−1=3
所以数列an−1是以a1−1=2为首项，3为公比的等比数列，
所以an−1=2×3n−1⇒an=2⋅3n−1+1．
(2)由(1)bn=nan=2n⋅3n−1+n，
所以数列bn的前n项和Sn=b1+b2+...+bn−1+bn
=2[1⋅30+2⋅31+...+(n−1)⋅3n−2+n⋅3n−1]+(1+2+...+n)=2Qn+n(1+n)2；
所以3Qn=1⋅31+2⋅32+...+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n，
所以−2Qn=30+31+32+...+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n=1−3n−2−n⋅3n，
所以Qn=1−3n4+n2⋅3n，
所以Sn=2Qn+n1+n2=2×1−3n4+n2⋅3n+n1+n2=2n−13n+n1+n+12；
(3)cn=(−1)ncs nπan=(−1)n⋅(−1)n2⋅3n−1+1=12⋅3n−1+1