安徽省定远中学2023届高三数学下学期第二次模拟试卷（Word版附答案）

2023届高三数学第二次模拟检测试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知，其中为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  中，点是的中点，点为上一点，与交于点，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量若一个圆台形盆的上口直径为，盆底直径为，盆深，某次下雨盆中积水，则这次降雨量最接近注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从数字，，，，中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为 (    )

A.  B.  C.  D.

6.  将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间上单调递增，则的最大值为 (    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为 (    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，，，则 (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数，则(    )

A. 没有极值点
B. 当时，函数图象与直线有三个公共点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线

10.  已知正方体的棱长为，长为的线段的一个端点在棱上运动，在底面内可以在正方形边上运动，线段中点的轨迹为，与平面、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为，则(    )

A. 球半径的最大值为
B. 被正方体侧面截得曲线的总长为
C. 的面积为
D. 与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为

11.  已知是抛物线的焦点，，是上的两点，为原点，则 (    )

A. 若，则的面积为
B. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
C. 若直线过点，则的最小值为
D. 若，则直线恒过定点

12.  已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则 (    )

A.
B. 函数为周期函数
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象既有对称轴又有对称中心

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  在的展开式中含的项为第项，设，则的值为          ．

14.  已知圆和圆的公共弦所在直线横过定点，若过点的直线被圆上截得的弦长为，则直线的方程为          ．

15.  若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为          ．

16.  已知曲线，点与曲线的焦点不重合已知关于曲线的焦点的对称点分别为，，线段的中点在曲线上，若时，的值为，时，的值为，则的值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

设数列的前项和，数列满足．

求数列和的通项公式

若数列的前项和，，求数列的前项和．

18.  本小题分

在中，角，，的对边分别为，，，．

求；

再从条件、条件这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求．

条件：，；

条件：；

19.  本小题分

年月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了月日到日每天新增病例的情况，统计数据如表：

已知在月日新增的人病例中有人年龄在岁以上，工作人员从这人中任选人研究病人的感染情况，若这人中岁以上的人数为，试求的分布列

疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立关于的线性相关关系，求关于的线性回归方程

根据中的线性回归方程，预测到哪一天新增病例人数将超过人

附：对于一组组数据，，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：．

20.  本小题分

如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，．

求证：平面平面；

若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21.  本小题分

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，，是上关于原点对称的两个动点，当垂直于轴时，的周长为．

求的方程；

已知的离心率，直线与交于点异于点，直线与交于点异于点，证明：直线过定点．

22.  本小题分

已知函数，，
设的导函数为，试讨论的零点个数
设，当时，若恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.答案： 

解析：若，则，，
即，由，得，
．故选B．

2.答案： 

解析：由题意得
故．故选B．

3.答案： 

解析：由题设，，又，

，
，
 ，
，而共线，

，可得．故选A．

  4.答案： 

解析：根据题意，盆中水的体积约为，
降雨量等于故选：．

5.答案： 

解析：从数字，，，，中任取两个不同的数字构成一个两位数，
共有种结果，
这个两位数大于的情况有：，，，，，，，，共有个，
根据古典概型概率公式得到，故选B．

  6.答案： 

解析：函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，
由，得，
所以当时函数的一个单调递增区间是，所以的最大值为．故选A．

7.答案： 

解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而，，平面，因此平面，
在等腰中，，，则，
，
令的外接圆心为，则平面，，
有，取中点，连接，则有，又平面，即，
从而四边形为平行四边形，，又，
因此的半径，
所以球的表面积．
 

8.答案： 

解析：由，，，得，，，

构造函数，则，

当时，，时，，单调递减

时，，单调递增，在处取最小值，

，时，，时，，时，

取，得，，

设，则，

令，，
因为当时，，所以，
因为当时，，

所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，

所以当时，函数单调递增，所以，即，

所以，，
．故选：．

9.答案： 

解析：因为
，时，

，所以为奇函数，则关于点对称，故选项C正确

当时，，
令，解得，
在上单调递增，

在上单调递减，，又为奇函数，
画出的大致图象，
由图知选项A错误，选项B错误

假设是曲线的切线，设切点为，则，解得

，或

当时，直线是曲线的切线，故选项D正确．

故选：．
 

10.答案： 

解析：连接，当不在底面内时为直角三角形，所以中点到的距离为，所以中点的轨迹是以为球心，为半径的球面在正方体内部的部分，
设球半径最大值为，当球半径最大时，球与平面、平面、平面和轨迹都相切，因为球半径为，两球的球心距离为，，所以，，所以A正确

因为被正方体一个侧面截得曲线的长度是为半径的圆的，所以被正方体侧面截得曲线的总长为，B正确
因为是半径为的球面的，所以的面积为，C错误

因为与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为球体积的，所以体积等于，D正确故选：．

11.答案： 

解析：对于选项A，设，
由题意得，解得，所以，
从而，选项A正确；
对于选项B，由题意知，且垂直于轴，
根据抛物线的定义可知．
设与轴的交点为，易知，，
故，
所以四边形的周长为，选项B错误；

对于选项C，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为，选项C正确；
对于选项D，设直线：，，，
联立直线与抛物线方程得，则，
所以，
由可得，
即，解得，
故直线的方程为，
即直线恒过定点，选项D正确．故选：．

12.答案： 

解析：因为奇函数，，，，即，周期为，则的周期为，所以，A错误，B正确；

令，即，则，即；

令，即，则，即；

令，即，则，即；

所以

根据周期性在上的图象与在相同，

所以，当，即时，，C正确；

由是周期为的奇函数，则且，

所以，故关于对称，

，所以关于对称，D正确．故选：．

13.答案： 

解析：展开式的通项为，，，

依题意，当时，，解得，
令，

，，

所以．

故答案为：．

14.答案：或 

解析：两圆方程相减，可得公共弦所在直线为，

令，得定点，设直线的方程为，过点的直线被

圆上截得的弦长为时圆心到直线的距离为，所以

，直线的方程为，显然直线的方程为时也满足题

意，故答案为：或．

15.答案： 

解析：
，
，
曲线的切线斜率在范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在，两点处的切线斜率必须一个是，一个是．
不妨设在点处切线的斜率为，
则有，，
则可得，
所以．故答案为：．

16.答案：或 

解析：设曲线的左右焦点分别为，，
若，则曲线为椭圆，由中位线及椭圆定义知，，所以
若，则曲线为双曲线，由中位线及双曲线定义知，，所以

，，
或．

17.解：当时，，由得，

，
又也符合，
，

．

，

．

，

，

，两式相减得：，

所以．

18.解：因为 ，所以 ，

所以 ，则  ，

又，解得 ；

若选条件：，，
因为 ，所以  ，

所以 ，则 ，

故 无解；

若选条件：，
因为 ，又  ，所以 ，

由正弦定理得：  ，所以  ，

所以 ，又 ，解得，，

因为 ，

由正弦定理得：  ，
所以 ．

19.解：可能的值为，，，

，，，

的分布列为

，

，
 

回归直线方程为

由，，解得．

月日新增病例人数将超过人．

 20.解：是圆的直径，与圆切于点，，

底面圆，底面圆，
，

，、平面，
平面，又平面，
，

在中，，则，
，

，、平面，
平面，又平面，
平面平面；

底面圆，、底面圆，
 ，，
为二面角的平面角，

 ，

如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，、分别为、轴建立空间直角坐标系，
易知，

则，，，

，，，

由知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，，

 ，，，，

 ，令，得，，

故平面的一个法向量为，

．

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21.解：由题意可知：，

又因为，是上关于原点对称的两个动点，所以，

则的周长为，

因为，即，

又因为，所以，

故的方程为．

当，为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合；

当，为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点，

同理可得点，此时直线的方程为；

当，不是顶点时，设直线的方程为，，

由，整理可得：，，

，

设直线的方程为，其中，，，

由，整理可得：，，

所以

设直线的方程为，其中，，，

由，整理可得：，，

所以，

所以，整理可得：，

所以，

因为

，

则，

整理可得：，

将代入上式可得：

，也即，

因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，

综上：直线恒过定点．

22.解：，令，

函数的零点即为的方程的根，令，

，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

且，，

时，，时，，且当或时，当

时，则的大致图象如图所示：

由数形结合可知，当或时，有一个零点

当或时，有两个零点

当时，有三个零点

当时，无零点．

当时，若成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

亦即对恒成立，

设函数，对恒成立，又，

设，，

当时，，此时点在上单调递减，当

时，，此时在上单调递增，

，

在上单调递增，又，在上恒成立，

令，则，

当时，在上恒成立，，此时满足已知条件，

当时，由，解得，

当时，，此时在上单调递减，

当时，，此时在上单调递增，

的最小值，解得，

综上，的取值范围是．