安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题

这是一份安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知，则等内容，欢迎下载使用。

1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.3.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某学生在书店发现2本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
2.在等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A.72 B.56 C.30 D.28
4.已知，则（ ）
B.0.5
5.已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（ ）
A.或 B.或 C. D.
6.若随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ）
A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21
8.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵､羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A.128 B.64 C.48 D.24
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若的展开式中第6项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
10.已知双曲线的左､右焦点分别为是上的动点，则（ ）
A.
B.的离心率不可能是
C.以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切
D.存在点使得是顶角为的等腰三角形
11.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设随机变量服从两点分布，若，则__________.
13.已知圆与圆的公共弦经过点，则__________.
14.盒中有个红球，个黑球，个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是黑球的概率是__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设数列是公差为的等差数列，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且的前项和为，求.
16.（本小题满分15分）
某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.
（1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？
（2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？
17.（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.（本小题满分17分）
已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝.每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束.情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分；情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分.
已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为0.8，在情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关.
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
2023~2024学年定远三中第二学期高二年级第一次月考·数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.C 依题意，不同的购买方式共有种.故选C.
2.D .
3.B 因为，所以由组合数性质得，所以.故选B.
4.A .
5.A 若，则，解得，则，所以焦距是；若，则，解得，则，所以焦距是.故选A.
6.B 随机变量满足，则，据此可得.
7.C ，而点到平面的距离，即，解得-1或-11.故选C.
8.D 先将徵､羽两音阶相邻捆绑在一起有种，然后与宫､商､角进行全排列有种，考虑到顺序问题，则可排成不同音序的种数为.
9.ABC 当为偶数，若时，第6项的二项式系数最大，正确；若时，第7项的二项式系数最大，错误.当为奇数，若时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，正确；若时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C正确，故选.
10.BC ，错误；因为，所以的离心率，B正确；设，则到渐近线的距离，C正确；由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上，由可知直线与的右支无交点，所以，若，由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，错误，故选.
11.CD 令，则，
由已知可得，即在上单调递减.
所以，
故，即C､D选项正确.故选CD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.0.6 随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知，解得.
13. 因为圆的圆心，圆，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，即，所以，所以.
14. 设事件“第一次取出的是红球”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是黑球”.
由全概率公式知.
由题意，，则.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.解：（1）或，
又.
（2），
.
16.解：（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐人第一辆车，共种选法，再选三名学生坐人第一辆车，共种选法，因此共有种分配方法.
（2）先让6名学生排队，共种方法，然后两名老师插入7个空隙，共种方法，因此共有种站法.
17.解：因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为，设，将代入，得，所以，
由抛物线的定义知.
（1）.
（2）.
故.
18.解：（1）由已知可得，的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为：
（2）该玩家应选择从情境开始第一关，理由如下：
由（1）知该玩家选择从情境开始第一关，经验值累计得分的期望为
.
若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，
则的所有可能取值为，
，
，
则的期望为.
因为，
所以为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从情境开始第一关.
19.（1）解：易知的定义域为.
.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，是方程的两根，所以，
由，所以，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
A
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ABC
BC
CD
0
2
5
0.2
0.32
0.48