新高考数学二轮复习热点题型归纳与变式演练专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc10388" 题型一：分离变量+最值法 PAGEREF _Tc10388 \h 1
\l "_Tc21693" 题型二：分类讨论法 PAGEREF _Tc21693 \h 9
\l "_Tc30149" 题型三：同构法 PAGEREF _Tc30149 \h 16
\l "_Tc2773" 题型四：最值定位法解决双参不等式问题 PAGEREF _Tc2773 \h 23
\l "_Tc26906" PAGEREF _Tc26906 \h 32
\l "_Tc9243" 一、单选题 PAGEREF _Tc9243 \h 32
\l "_Tc10012" 二、多选题 PAGEREF _Tc10012 \h 38
\l "_Tc8636" 三、解答题 PAGEREF _Tc8636 \h 41
题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高三阶段练习（文））设是定义在上的连续函数的导函数，且.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
【提分秘籍】
①若)对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需．
③，使得能成立；
④，使得能成立．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（ ）
（附：）
A．B．C．D．
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
题型二：分类讨论法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知函数，，其中是自然对数的底数．
(1)若的最小值为0，求；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式演练】
1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
2．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求正实数的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若存在，当时，，求实数的取值范围.
题型三：同构法
【典例分析】
例题1．（2022·河北·模拟预测）已知.
(1)当时，求的单调性；
(2)若恒大于0，求的取值范围.
例题2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【提分秘籍】
①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边
是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.
【变式演练】
1．（多选）（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
3．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，在时恒成立，求实数的最小值.
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是
B．C．2D．3
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
例题3．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【变式演练】
1．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若，使得成立，则实数的最小值是_________．
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数，，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求实数的取值范围．
一、单选题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·广东·红岭中学高二期中）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东·高三开学考试）已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．eB．C．D．
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．2
三、解答题
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数，曲线处的切线斜率为0
求b;若存在使得，求a的取值范围．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，
(Ⅰ) 设函数，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，
14．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知f（x）＝．
（1）曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范围．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，．
（1）求的最大值与最小值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．