贵州省毕节市2025-2026学年高二上学期高中期末质量监测数学试卷含解析（word版）

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1.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围: 人教版选择性必修第一册, 选择性必修第二册第四章.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 3x+3y−2=0 的倾斜角为( )
A. π6 B. 5π6 C. 2π3 D. π3
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的方程易得斜率, 进而可得倾斜角.
【详解】由题意可得直线的斜率 k=−33 ,
即 tanα=−33 ,因为 0≤αF1F2=8 ,
由椭圆的定义可知, P 的轨迹方程是焦点在 y 轴上的椭圆,
其中 2a=10,2c=8 ,则 a=5,c=4,b=a2−c2=3 ,
方程为: y225+x29=1 .
故选: D
4. 已知 a=2,1,3,b=0,3,3 ，则 a 在 b 上的投影向量为( )
A. 0,2,2 B. 0,−2,2 C. 2,0,2 D. 2,2,0
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据投影向量的公式计算.
【详解】由投影向量的公式, a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2b=0+3+91820,3,3=0,2,2 . 故选: A
5. 过原点且与圆 C:x−22+y−12=5 相切的直线 l 的方程为( )
A. x+2y=0 B. x−2y=0
C. 2x+y=0 D. 2x−y=0
【答案】C
【解析】
【分析】分直线斜率是否存在, 设出直线的方程, 利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】圆 C:x−22+y−12=5 的圆心是 2,1 ,半径为 r=5 .
直线过原点,且斜率不存在时,方程为 x=0 ,
圆心到直线的距离是 2≠r ,此时直线和圆不相切,故直线斜率不存在时无法成立;
当斜率存在时,设直线方程为: y=kx ,即 kx−y=0 ,
圆心到直线的距离为 2k−1k2+1=5 ,解得 k=−2 ,
即 y=−2x ,即 2x+y=0 .
故选: C
6. 已知向量 p 以 {a,b,c} 为基底时的坐标为 3,4,5 ,则 p 以 {a,b−c,b+c} 为基底时的坐标是 ( )
A. 3,12,92 B. 3,−12,92 C. 3,−12,−92 D. 3,92,−12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得 p=3a+4b+5c ,而 p 以 {a,b−c,b+c} 为基底,则设 p=xa+yb−c+zb+c ,然后根据空间向量基本定理列出关于 x,y,z 的方程组,可求得答案.
【详解】因为向量 p 以 {a,b,c} 为基底时的坐标为 3,4,5 ,
所以 p=3a+4b+5c ,
设 p=xa+yb−c+zb+c=xa+y+zb+z−yc ,
由空间向量基本定理得 x=3y+z=4z−y=5 ,解得 x=3y=−12z=92 ,
所以 p 以 {a,b−c,b+c} 为基底时的坐标为 3,−12,92 .
故选: B
7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯ ，即 a1=a2=1,an=an−1+an−2n≥3,n∈N ，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用. 若此数列被 3 除后的余数构成一个新数列 bn ，则数列 bn 的前 2026 项的和为 ( )
A. 2025 B. 2026 C. 2278 D. 2279
【答案】D
【解析】
【分析】依据“兔子数列”数列性质得出新数列 bn 的规律,再利用数列的周期性即可得结果.
【详解】由 “兔子数列”: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯ ,即
a1=a2=1,an=an−1+an−2n≥3,n∈N,
计算各项除以 3 的余数可知,
b1=1,b2=1,b3=2,b4=0,b5=2,b6=2,b7=1,b8=0,b9=1,b10=1⋯ ,
因此新数列 bn 即为按照1,1,2,0,2,2,1,0呈周期出现的数列,周期为 8,
易知 2026=253×8+2 ，一个周期内的 8 个数字之和为 9 ；
所以数列 bn 的前 2026 项的和为 253×9+1+1=2279 .
故选: D
8. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,以原点 O 为圆心, OF2 为半径作圆,与双曲线 C 在第一、三象限分别交于 A、B 两点. 若四边形 AF1BF2 的面积为 8a2 ,则双曲线 C 的离心率为( )
A 2 B. 3 C. 5 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用圆的半径为 c 确定点 A 坐标满足的方程,再结合双曲线方程求出 A 点纵坐标,最后通过四边形面积公式建立 a 与 c 的关系,从而求得离心率.
【详解】已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的焦距为 2c ,则圆 O 的方程为 x2+y2=c2 .
联立双曲线方程与圆的方程,消去 x2 得: c2−y2a2−y2b2=1
又因为 a2+b2=c2 ,所以 y2=b4c2 ,故 A 点纵坐标为 y=b2c .
四边形 AF1BF2 为平行四边形,面积为 2×12×2c×b2c=2b2 .
由题意 2b2=8a2 ,即 b2=4a2 .
又 c2=a2+b2=5a2 ,故离心率 e=ca=5 .
故选: C

二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在等差数列 an 中, a1>0 ,记公差为 d ,前 n 项和为 Snn∈N∗ ,若 S2020=S2026 ,则 ( )
A. S4046=0 B. d>0
C. a2024>0 D. 当 n=2023 时, Sn 最大
【答案】AD
【解析】
【分析】借助 an 与 Sn 的关系及等差数列性质计算可得 A ; 计算出数列 an 的公差后利用 a1>0 即可判断 B ; 利用等差数列基本量的运算判断 C ; 分析可得当 n≤2023 时, an>0 ; 当 n≥2024 时, an0 ,所以 d=a4046−a14045=−2a140450 与圆 C 有两个交点,求 r 的取值范围.
【答案】(1) x−42+y2=16
(2) 1,9
【解析】
【分析】(1) 求出线段 AB 的中垂线方程,进而求出圆心和半径即可;
(2)根据圆心距和半径的关系计算.
【小问 1 详解】
A8,0,B4,4 两点的中点为 6,2 ,所在直线的斜率为 −48−4=−1 ,
则线段 AB 的中垂线的方程为 y−2=x−6 ,即 y=x−4 ,
联立 y=x−4x+y−4=0 ,得 x=4y=0 ,则圆心为 4,0 ,半径为 r=8−42+0−02=4 ,
则圆 C 的标准方程为 x−42+y2=16 ;
【小问 2 详解】
由题意可知,圆 C 和圆 D1,4 相交,
因为 CD=4−12+0−42=5 ,所以 r−40 的一条渐近线方程为 2x+3y=0 ,
即 y=−23x ,所以 ba=23 ,因为其虚轴长为 4,即 2b=4 解得 b=2 .
所以 a=3 ,所以双曲线 E 的方程为 x29−y24=1 .
【小问 2 详解】
证明: 因为由 (1) 知,双曲线 E 的方程为 x29−y24=1 ,
所以两条渐近线方程为 y=−23x 和 y=23x ,即 2x+3y=0 和 2x−3y=0 .
由于 Q 为双曲线 E 上任意一点,所以设 Qx0,y0 ,
则点 Q 到两条渐近线 2x+3y=0 和 2x−3y=0 的距离分别为
d1=2x0+3y022+32=2x0+3y013,d2=2x0−3y022+32=2x0−3y013.
所以 d1⋅d2=2x0+3y013⋅2x0−3y013=4x02−9y0213 ,因为 Qx0,y0 满足 x029−y024=1 ,
即 4x02−9y02=36 ,所以 d1⋅d2=4x02−9y0213=3613 .
所以点 Q 到两条渐近线的距离之积为定值,定值为 3613 .

17. 如图，在三棱锥 A−BCD 中，平面 ABD⊥ 平面 BCD,AB⊥AD,BD⊥CD ，点 E 是 BC 边
的中点,连接 AE,DE,AD=1,BD=3,BC=3 .

(1)求证: AB⊥ 平面 ACD ；
(2)求平面 ABD 与平面 ADE 夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 32
【解析】
【分析】(1) 根据面面垂直的性质先推知 CD⊥ 平面 ABD ，从而 AB⊥CD ，结合题干 AB⊥AD 可得证明;
(2)根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解.
【小问 1 详解】
由题知,平面 ABD⊥ 平面 BCD ,
又平面 ABD∩ 平面 BCD=BD,CD⊂ 平面 BCD ,又 CD⊥BD ,
根据面面垂直的性质定理, CD⊥ 平面 ABD ,
又 AB⊂ 平面 ABD ,则 AB⊥CD ,
又 AB⊥AD , AD,CD⊂ 平面 ACD,AD∩CD=D ,
根据线面垂直的判定定理, AB⊥ 平面 ACD
【小问 2 详解】

分别取 BD,AD 中点 F,G ,连接 EF,FG,EG ,
由中位线性质可知, FG//AB ,又 AB⊥AD ,则 FG⊥AD ;
由于 AB⊥ 平面 ACD ， AC⊂ 平面 ACD ，则 AB⊥AC ，
又 CD⊥BD ,且点 E 是 BC 边的中点,
则 DE,AE 分别为直角三角形 △BDC,△ABC 斜边上的中线，
则 AE=DE=12BC ，
又 AG=DG ,则 EG⊥AD ,
则 ∠EGF 是平面 ABD 与平面 ADE 夹角.
又 AD=1,BD=3,BC=3 ,
可求得 CD=6,AB=2,DE=AE=32,EG=94−14=2 ,
由中位线可知 GF=22,EF=62 ,则 GF2+EF2=GE2 ,则 ∠GFE=90∘ ,
故二面角 ∠EGF 的正弦值为 EFEG=32
18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=n2+nn∈N∗ ,正项等比数列 bn 满足 b1=a1 ,且 b7+b8=8b4+b5.
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)已知 cn=1anan+1 ，记数列 cn 的前 n 项和为 Tn ，证明: Tn0 ,因为 b7+b8=8b4+b5 ,
则 q3b4+b5=8b4+b5 ,解得 q=2 ,又因为 b1=a1=2 ,所以 bn=2×2n−1=2n .
【小问 2 详解】
cn=12n2n+2=141n−1n+1,
则 Tn=141−12+12−13+⋯+1n−1n+1=141−1n+1b>0 的蒙日圆的面积为 5π ,离心率为 32 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若椭圆 C 上有两个不同的点关于直线 y=4x+m 对称，求 m 的取值范围；
(3)若 A,B 是椭圆 C 上的两动点( A,B 两点不关于 x 轴对称)， O 为坐标原点， OA,OB 的斜
率分别为 k1,k2 ,问是否存在非零常数 λ ,使得 k1⋅k2=λ 时, △AOB 的面积 S 为定值? 若存在, 求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由.
【答案】(1) x24+y2=1
(2) m∈−655,655
(3) λ=−14,S=1 .
【解析】
【分析】(1) 由题干所给蒙日圆, 结合椭圆离心率, 建立方程求解即可;
(2)设椭圆上两点 Px1,y1、Qx2,y2 关于直线 y=4x+m 对称，中点为 Mx0,y0 ,点差法求出 x0=−m3,y0=−m3 ,由 M 在椭圆内部,求出 m 的范围即可;
(3)设 Ax1,y1 、 Bx2,y2 ，表示出直线 OA ， B 到 OA 的距离，则可表示出 S=12x1y2−x2y1 ， 平方之后代入 k1k2=λ,y1y2=λx1x2 以及椭圆方程,化简为 S2=4k12+k22−8λ4k12+k22+16λ2+1 ,要使得 S2 与 k12+k22 无关,则可得分子分母对应系数成比例,求得 λ 以及定值.
【小问 1 详解】
由题意, a2+b2=5ca=32a2=b2+c2 解得 a=2b=1c=3 ,
则椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 .
【小问 2 详解】
设椭圆上两点 Px1,y1、Qx2,y2 关于直线 y=4x+m 对称，中点为 Mx0,y0 , 则 PQ 斜率为 −14 ,
由点差法: x124+y12=1x224+y22=1 两式相减得 x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y2=0 ,
代入 y1−y2=−14x1−x2 ,得 x0=y0 ,
由于 M 在 y=4x+m 上,故 y0=4x0+m ,
联立 x0=y0 得 x0=−m3,y0=−m3 ,
M 在椭圆内部,代入椭圆不等式: x024+y02