【数学】贵州省毕节市2025-2026学年高二第一学期高中期末质量监测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得直线的斜率，
即，因为，
故，
故选：B．
2. 在等比数列中，，则（ ）
A. -4B. 4C. D.
【答案】C
【解析】等比数列，满足，
即，解得.
故选：C.
3. 平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题知，，
由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆，
其中，则，
方程为：.
故选：D.
4. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由投影向量的公式，在上的投影向量为.
故选：A.
5. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心是，半径为.
直线过原点，且斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立；
当斜率存在时，设直线方程为：，即，
圆心到直线的距离为，解得，
即，即.
故选：C.
6. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为向量以为基底时的坐标为，
所以，
设，
由空间向量基本定理得，解得，
所以以为基底时坐标为.
故选：B.
7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被3除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ）
A. 2025B. 2026C. 2278D. 2279
【答案】D
【解析】由“兔子数列”：，即，
计算各项除以3的余数可知，，
因此新数列即为按照呈周期出现的数列，周期为，
易知，一个周期内的8个数字之和为；
所以数列的前2026项的和为.
故选：D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】C
【解析】已知双曲线的焦距为，则圆的方程为.
联立双曲线方程与圆的方程，消去得：.
又因为，所以，故点纵坐标为.
四边形为平行四边形，面积为.
由题意，即.
又，故离心率.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在等差数列中，，记公差为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，最大
【答案】AD
【解析】对A：，
所以，所以，所以，故A正确；
对B：因为，所以，故B错误；
对C：由B可知， ，所以，故C错误；
对D：因，，
所以当时，；当时，，
所以当时，最大，故D正确.
故选：AD.
10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为E，F分别为棱的中点，所以，
所以，A正确；
对于B，，B正确；
正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
对于C， 因为，
所以，故，C错误；
对于D，，，设平面的法向量为，
则，令，故可得，
又，因此点到平面的距离为，D正确.
故选：ABD.
11. 已知抛物线的焦点为F，P为上的一动点，且的最小值为1.过点作直线，交抛物线于A，B两点（点在第一象限），为的准线，，垂足为，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 准线的方程为
B. 若，则
C. 若线段AB中点的纵坐标为2，则直线的方程为
D. 若，则直线的方程为
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点为，准线，
由抛物线定义，，当时，最小，最小值为，
已知最小值为1，故，即.
因此，抛物线方程为，焦点，准线.
选项A，准线的方程为，选项A正确.
选项B，设，，，，
，，，
代入抛物线方程：，解得，即，
直线斜率，方程为，
联立，得，即，
解得，.
由抛物线焦点弦公式，，选项B错误.
选项C，设直线方程为(斜率不为0时)，联立，
得，
设，，则，
中点纵坐标为2，故，即，解得，
直线方程为，即，选项C正确.
选项D，由，得，即，
由选项C知，，，
由，得，代入，得，
解得，
因在第一象限，所以，，
则，
解得，
直线方程为，即，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________.
【答案】
【解析】设与直线平行的直线的方程为，
在轴上的截距为5，即当时，得，解得，
所以直线的方程为.
故答案：.
13. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图所示，两条平行于轴的入射光线分别经抛物线上的P，Q两点反射后，两条反射光线又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线之间的距离为__________．
【答案】2
【解析】分别联立直线与抛物线方程可得，和.
所以，因为抛物线焦点坐标为.
所以直线的方程为，即.
直线的方程为，即.
所以根据抛物线的对称性可得.
联立直线的方程与抛物线方程得，解得或.
所以，因为两条反射光线沿平行于轴的方向射出，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以两条反射光线之间的距离为2.
故答案为：2.
14. 已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，由可得，则，
取中点分别为，则，，
则，同理，
则三角形为正三角形，
由对称性，正三角形的内切圆绕转一圈即可得到正四棱锥的内切球，
设正三角形中心为，可得，
取中点，则，
由余弦定理可得，
，
当共线且按此顺序排列时，，
则的最小值为.
故答案为; .
四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围.
解：（1）两点的中点为，所在直线的斜率为，
则线段的中垂线的方程为，即，
联立，得，则圆心为，半径为，
则圆的标准方程为；
（2）由题意可知，圆和圆相交，
因为，所以，得，
故的取值范围为.
16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为4，Q为双曲线上任意一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值.
（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
即，所以，因为其虚轴长为4，即解得.
所以，所以双曲线的方程为.
（2）证明：因为由（1）知，双曲线的方程为，
所以两条渐近线方程为和，即和.
由于Q为双曲线上任意一点，所以设，
则点到两条渐近线和的距离分别为：.
所以，因为满足，
即，所以.
所以点到两条渐近线的距离之积为定值，定值为.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值.
（1）证明：由题知，平面平面，
又平面平面，平面，又，
根据面面垂直的性质定理，平面，
又平面，则，
又，平面，，
根据线面垂直的判定定理，平面
（2）解：分别取中点，连接，
由中位线性质可知，，又，则；
由于平面，平面，则，
又，且点是边的中点，
则分别为直角三角形斜边上的中线，
则，
又，则，
则是平面与平面夹角.
又，
可求得，，
由中位线可知，则，则，
故二面角的正弦值为.
18. 已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，证明：；
（3）已知，求数列的前项和.
（1）解：当时，，
当时，，适合上式，则.
设正项等比数列的公比为，因为，
则，解得，又因为，所以.
（2）证明：，
则.
（3）解：，
设数列的前项和为，
则，
则，
作差得
则.
19. 法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
（3）若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，解得，
则椭圆的方程为.
（2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，
则斜率为，
由点差法：两式相减得，
代入，得,
由于在上，故，
联立得，
在椭圆内部，代入椭圆不等式：，
解得.
（3）设，满足，即，
联立得，，
由于直线：，则到的距离，
则
平方得，
代入以及，
整理得 ，
要使得与无关，则，得，
代入得，则.
所以存在使得时，的面积为定值1.