2021-2022学年贵州省毕节市高二（上）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年贵州省毕节市高二（上）期末数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 变量，之间有如下对应数据：

已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 设为椭圆：上一点，、分别为左、右焦点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则(    )

A.  B.
C.  D.

7. 刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．
   甲：该圆经过点；
   乙：该圆的半径为；
   丙：该圆的圆心为；
   丁：该圆经过点．
   如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 某汽车制造厂分别从，两类轮胎中各随机抽取了个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程单位：．
   类轮胎：，，，，，．
   类轮胎：，，，，，．
   根据以上数据，下列说法正确的是(    )

A. 类轮胎行驶的最远里程的众数小于类轮胎行驶的最远里程的众数
B. 类轮胎行驶的最远里程的极差等于类轮胎行驶的最远里程的极差
C. 类轮胎行驶的最远里程的平均数大于类轮胎行驶的最远里程的平均数
D. 类轮胎的性能更加稳定

9. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，如如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”执行该程序框图，则输出的等于(    )

A.
B.
C.
D.

10. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是(    )

A. ， B.
C. ， D.

11. 已知，，，，则点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为米，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 抛物线的焦点坐标为______．
14. 在区间上随机取个数，则取到的数小于的概率为______．
15. 若是直线外一点，为线段的中点，，，则______．
16. 如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形是等腰梯形，，，，若四棱锥的体积为，则四棱锥外接球的表面积是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立．
    如果是真命题，求实数的取值范围；
    如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
    求；
    若，求外接圆面积的最小值．
19. 本小题分
    某中学共有名学生，其中高一年级有名学生．为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间单位：小时，绘制出了如图所示的频率分布直方图．
    求样本中高一年级学生的人数及图中的值；
    估计样本数据的中位数保留两位小数；
    估计全校睡眠时间不低于个小时的学生人数．

20. 本小题分
    在数列中，，且．
    证明：数列是等比数列；
    若，求数列的前项和．
21. 本小题分
    如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点．
    证明：；
    求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22. 本小题分
    已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且，的面积为．
    求椭圆的短轴长；
    过原点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

2.【答案】 

【解析】解：，且，
．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数和反比例函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
变量与呈线性相关关系，且回归方程为，
，解得．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均数，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，在空间中，直线与没有公共点，直线和平行或异面，
反之，若直线与异面，则直线与没有公共点，
故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件，
故选：．
根据题意，由空间之间的位置关系分析“直线与没有公共点”和“直线与异面”关系，结合充分必要的定义分析可得答案．
本题考查异面直线的定义，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意椭圆：，所以，
可得，
又因为，
所以，
故选：．
根据椭圆的定义结合条件，即可计算结果．
本题考查了椭圆的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
故选：．
由题意，利用诱导公式、两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式的应用，函数的图象变换规律，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意若乙：该圆的半径为，丙：该圆的圆心为正确，
可得圆的方程为，
甲：该圆经过点正好成立，
丁：该圆经过点不正确，
故选：．
由假设乙丙正确，求出圆的方程，再验证甲丁即可．
本题圆的方程和点与圆的位置关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对：类轮胎行驶的最远里程的众数为，类轮胎行驶的最远里程的众数为，选项A错误；
对：类轮胎行驶的最远里程的极差为，类轮胎行驶的最远里程的极差为，选项B错误．
对：类轮胎行驶的最远里程的平均数为，类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误．
对：类轮胎行驶的最远里程的方差为；
类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确．
故选：．
根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解．
本题主要考查数据的均值、方差，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，第一步：，，余数不为，
第二步：，，余数不为，
第三步：，，余数为，执行第二个判断框，余数不为，
第四部：，，执行第一个判断框，余数为，执行第二个判断框，余数为，输出的值为．
故选：．
根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：定义在上的偶函数在上单调递增，
可得在上单调递减，
又，
则当时，；当或时，，
等价为或，
即为或，
解得或，
故选：．
由偶函数的定义和性质，求得和的解集，对讨论，解不等式可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在空间直角坐标系中，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，可得，
到平面的距离为．
故选：．
求出平面的法向量，再由向量法求解到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：以的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为．
故选：．
以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的实际应用等知识，属于中等题．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点坐标为．
故答案为：．
直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设“区间上随机取个数”，对应集合为，区间长度为，
“取到的数小于”，对应集合为，区间长度为，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合几何概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知，可得，又，
则，
所以，所以．
故答案为：．
由平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，
所以：，
由于，
所以等腰梯形的高为，
由于四棱锥的体积为，
所以，解得，
由于是边长为的等边三角形，三角形的高为，故平面平面；
设等腰梯形的内点到、、、的距离相等；
即设点到的距离为，则到的距离为，
利用勾股定理：，解得，
所以点所在的位置为的中点，
如图所示：

由于等边三角形的中心距离底面的距离为，
所以外接球的半径为；
所以．
故答案为：．
首先利用等腰梯形的底角和腰长的关系求出等腰梯形的底边长，进一步利用棱锥的体积公式求出三角形底面，进一步确定底面的中心点的位置，最后利用勾股定理求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．
本题考查的知识要点：棱锥和球的关系，球的表面积公式，棱锥的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：若为真，即对恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围为．
若为真，即对任意的恒成立，
，，当且仅当即时，等号成立，
，
“”为真命题，“”为假命题，，一真一假，
当真假时，，，
当假真时，，，
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】若为真，即对恒成立，再结合二次函数的性质求解．
先利用基本不等式求出若为真命题时的取值范围，再由题意可知，一真一假，分两种情况分别求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了复合命题的真假判断，考查了二次函数的性质，以及函数恒成立问题，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
，
解得或舍去．
又为锐角三角形，
．
，
当且仅当时，等号成立，
．
外接圆的半径，
故外接圆面积的最小值为． 

【解析】由，利用倍角公式可得，结合为锐角三角形，即可得出．
利用余弦定理结合基本不等式即可得出的取值范围，利用正弦定理即可得出外接圆的半径，进而得出外接圆面积的最小值．
本题考查了倍角公式、正弦定理与余弦定理、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：样本中高一年级学生的人数为，
由，
解得；
设中位数为，，
则，
解得，
故样本数据的中位数约为；
由图可知，样本数据落在的频率为，
故全校睡眠时间不低于个小时的学生人数约为． 

【解析】本题考查了分层抽样及频率分布直方图的应用，属于中档题．
由分层抽样的定义求样本中高一年级学生的人数，由频率分布直方图的面积和为得到的值；
设中位数为，从而可得，解之即可；
先求样本数据落在的频率，即可估计全校睡眠时间不低于个小时的学生人数．
 

20.【答案】证明：依题意，由，
可得，
又，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，
，
数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，，
则，

． 

【解析】根据题意由，可得，即可得到数列是首项为，公差为的等差数列，进一步推导可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而证明结论成立；
先根据第题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和．
本题主要考查等比数列的判别，以及运用裂项相消法求前项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

21.【答案】证明：取的中点，连接，
以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，
则，，，，
，，
，
．
解：由可知，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，令得，，
又，令得，，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为，． 

【解析】取的中点，连接，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相应的点的坐标，进而求出，的坐标，由即可证得．
由点的坐标求出，，，的坐标，进而求出平面的法向量和平面的法向量，再利用二面角公式即可求出结果．
本题主要考查了向量法证明线线垂直，以及求二面角的余弦值，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以为直角三角形，
所以在中，，
又因为，
所以，
所以，
所以，或舍去，
所以椭圆的短轴长为．
若为等边三角形，所以，即，
不存在时，直线方程为，且，
此时为正三角形，为长轴顶点，且，即，
当时，直线方程为，且，
若为正三角形时，为短轴顶点，
不是正三角形，故舍去，
当存在且不为时，设其方程为，
则直线方程为，
联立，得，所以，
所以，
联立，得，所以，
所以，
又因为，则，
所以，
因为，则，，
所以，所以，
所以或舍去，
所以的取值范围为． 

【解析】根据题意可得在中，，又，则，进而可得，解得，即可得出答案．
若为等边三角形，则，分三种情况：不存在时，当时，当存在且不为时，即可得出答案．
本题考查直线与椭圆的相交问题，考查了方程思想和转化思想，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．