重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性化简集合，即可由交集的定义求解.
【详解】，
故，
故选：A
2. 不等式的解集是（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式组，利用一元二次不等式的解法求不等式组的解再求并集即可.
【详解】将分式不等式转化为整式不等式组或；
不等式组的解集为或 ，
不等式组的解集为，
所以不等式的解集是或 .
故选：B
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】举特例判断AC的真假，利用不等式的基本性质判断B的真假，利用“糖水不等式”判断D的真假.
【详解】对A：取，，则满足，但，所以不成立，故A错误；
对B：根据不等式的性质，，故B正确；
对C：若，当时，，此时不成立，故C错误；
对D：因为，，根据“糖水不等式”，，故D错误.
故选：B
4. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值.
【详解】由幂函数在区间上单调递增，得，而，
解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此.
故选：C
5. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较大小即可
【详解】因为对数函数在上单调递增，所以，
因为指数函数与在上单调递增，所以，，
又，所以，
由于幂函数在上单调递增，所以，
综上，.
故选：D.
6. 若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分情况讨论函数在各段内的单调性，结合函数在上单调，列不等式，解不等式即可.
【详解】由已知当时，，
又函数在上是单调递增函数，
则，即；
当，，
由单调递增可知，
解得，
综上所述，
故选：B.
7. 已知函数，设集合 ，集合 ，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】探讨函数的性质，由此化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】函数中，，函数定义域为R，
，
则函数是R上的奇函数，而函数在上都单调递增，
则函数在上单调递增，又函数在上单调递增，
于是函数在上单调递增，由奇函数性质得函数在上单调递增，
因此函数在R上单调递增，不等式，
则，即，解得，集合，
而集合，集合是集合的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，分析函数奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.
【详解】因为，且，，
所以.
设，则，且，
所以在上单调递增.
又是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且定义域为.
所以在上单调递减.
因为，即，且.
由.
当时，即；
当时，即
所以不等式的解集为.
故选：D
二、多选题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ” 是真命题.
B. “有些平行四边形是菱形” 是真命题.
C. 命题的否定为 “ ”
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由结合题意可判断A；根据菱形是特殊的平行四边形可判断B；根据存在量词命题的否定可判断C；根据复合函数的定义域可判断D.
详解】对于A：，，所以，故A正确；
对于B：菱形是特殊的平行四边形，所以“有些平行四边形是菱形” 是真命题，故B正确；
对于C：命题的否定为，故C错误；
对于D：的定义域为，
所以，所以的定义域为，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的解集为
D. 的最大值为 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D.
【详解】对于A：因为不等式的解集为，
所以对应函数开口向上，所以，A错误；
对于B：由已知可知的两根为，
由韦达定理可得，所以，B正确；
对于C：因为不等式的解集为，
所以的解集为，
即的解集为，C正确；
对于D：由得，
所以，
当时，取得最大值，D正确；
故选：BCD.
11. ，则下列结论正确的是 （ ）
A. 是奇函数
B. 当 时， 恒成立
C. 值域为
D. 若 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，利用作差法即可求解B，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断C；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断D.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
，
则，故不是奇函数，A错误，
当时，由，故，B正确，
令，则或，则，
由于对勾函数在单调递增，此时，在单调递增，此时，故，或，
故值域为 ，C正确，
由，
若且，
所以，故，当且仅当，时等号成立，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的单调递增区间为_____.
【答案】（或）
【解析】
【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解.
【详解】因为的定义域为，
又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
13. 已知函数的值域为，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可.
【详解】，，解得.
故答案为：.
14. 已知正实数 满足 ，则的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值.
【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数，
所以，联立方程组，解得，因为所以，故，
所以
，当且仅当，时取最小值.
故答案为:
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算
（1） ；
（2）
【答案】（1）1000
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可；
（2）根据题意结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16. 已知函数 的定义域为集合，函数，的值域为集合.
（1）求，；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据具体函数定义域的求法列不等式可得集合，根据二次函数值域的求法可得集合；
（2）根据集合间的运算可知，根据集合间的关系可列不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
由已知，
则，解得，
即；
又，，
当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
即；
【小问2详解】
由（1）得，，
则，
又，
所以，
当时，，解得，此时满足；
当时，由，则，解得；
综上所述.
17. 2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式：
（2）现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金)
【答案】（1）；
（2）当时，利润最大，最大净利润为(亿元)
【解析】
【分析】（1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式；
（2）先求出的表达式，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
【小问2详解】
由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
18. 已知函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 .
（1）求函数 的解析式：
（2）若 ，求实数 的取值范围：
（3）令 ，若对于任意 ，以 ,, 为长度的线段都可以围成三角形，求实数的取值范围.
【答案】（1）

（2）
（3）
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性建立方程组求解即得；
利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即得；
利用两边之和大于第三边转化可得，借助于换元分类即可求得参数范围.
【小问1详解】
因为 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，
所以，，因 (*)，
所以，将其与(*)联立，
解得，.
【小问2详解】
由（1）已得，令则是上的增函数，
则，在上单调递减，上单调递增，
所以在上单调递减，上单调递增，
又因为是偶函数，
则
所以，解得.
【小问3详解】
由题可知，， ， 为长度的线段都可以围成三角形，
则由两边之和大于第三边转化为，即，
因为，
令，因且该函数为增函数，则，，
所以，，函数的对称轴为直线，
① 当，即时，函数在上递增，
则，，
则由可得，解得，则得；
② 当，即时，函数在上递减，
则由可得，解得（与矛盾，舍）；
③ 当，即时，，此时，
而，此时，，
故显然不能恒成立.
综上可得.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值：
（2）已知函数，.
（i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域.
（ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）函数图象的对称中心为，在的值域为；（ii）实数的取值范围为：，的取值范围为：．
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性得，赋值求得，从而得所求；
（2）（i）设的对称中心为，根据对称性列方程，比较系数即可得解析式，根据复合函数单调性求解最值即可得在的值域；（ii）令，，，根据范围得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，从而得的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，且图象关于点对称，
则函数为奇函数，
所以，
则令得，令得，即，
所以；
【小问2详解】
（i）设的对称中心为，函数为奇函数，
则恒成立，
所以
整理得，故，解得，
所以函数的对称中心为，
则，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单增，
所以，故在的值域为；
（ii）令，由（i）知，
令，因为在单调减，在单调递增，
且，又
则①当时，方程有两个不等根且，
则，所以；
②当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，
又方程转化为
设，
由二次函数与的图象特征，
原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，，
且有两个不等根，只有一个根，则必有，
当时，结合二次函数的图象，
则有，解之得；
综上，实数的取值范围为：；
此时，则其根，故必有.