重庆市2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析

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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可.
【详解】对于 A 选项， ，A 错；
对于 B 选项， ，B 错；
对于 C 选项， ，C 错；
对于 D 选项， ，D 对.
故选：D.
2. 命题：“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】“ ， ”的否定是 ， ，
故选：C
3. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
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C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由 ，可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
4. 已知函数 是幂函数，且为奇函数，则实数 （ ）
A. 或 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.
【详解】由题意得 ，所以 ，所以 ，
解得 或 ，
当 时， ，为偶函数，故 不符合题意，
当 时， ，为奇函数，故 符合题意.
综上所述： .
故选：B.
5. 已知命题 、 ，使得 ；命题 ， ，则下列关于 ， 真
假叙述正确的是（ ）
A. ， 均为真 B. ， 均为假
C. 真， 假 D. 假， 真
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，则 为偶数可判断 ； 时可判断 .
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【详解】若 ，则 为偶数，则 ，
所以不存在 ，使 ，故 为假命题，
若 ，则 ，所以 ，使 ，故 为假命题，
所以 ， 均为假命题.
故选：B
6. 已知 ： ， ； ： ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 就不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误.
【详解】当 时， ， ，但 ，
则由 不能得到 ；当 ， 时， ， ，则由 可得到 ,
故 是 的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知函数 ，若对 上的任意实数 ， （ ），恒有
成立，那么实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 是 上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.
【详解】因为函数 满足对 上的任意实数 ，（ ），
恒有 成立，所以函数 在 上递减，
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所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
8. 已知定义在 上的函数 ，且 ，函数 的图象关于点 中心对
称，对于任意 ， ， ，都有 .则不等式 的解集
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知函数 为奇函数，构造函数 ，推导出函数 在区间
上单调递增，且函数 为偶函数，分 和 两种情况结合函数 的单调性可解不等
式 .
【详解】由于函数 的图象关于点 中心对称，则函数 的图象关于原点对称，
所以，函数 是定义在 上的奇函数，
令 ，则 ，
所以，函数 为偶函数，
对于任意 、 ， ，都有 成立，即 .
设 ，则 ，所以函数 在区间 上单调递增，且 .
①当 时，由 可得 ，解得 ；
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②当 时，由于偶函数 在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减，且
.
由 可得 ，解得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：D
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中，是假命题的有（ ）
A. 若 ，则
B. 函数 与函数 是同一函数
C. 若函数 ，则
D. 集合 的子集共有 个
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断 A 选项；利用函数相等 概念可判断 B 选项；利用函数解析式由内到外逐层
计算出 的值，可判断 C 选项；利用集合子集个数公式可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，若 ， ，则 、 均无意义，A 错；
对于 B 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
故函数 与函数 不是同一函数，B 错；
对于 C 选项，若函数 ，则 ，
所以， ，C 对；
对于 D 选项，集合 的子集个数为 ，D 错.
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故选：ABD.
10. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可．
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 ，又 所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 A 错误；
对于 B， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时取等号，故 C 正确；
对于 D， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 的定义域为 ，若 ， ，满足 ，则称函数 具有性
质 ．已知定义在 上的函数 具有性质 ，则实数 的可能取值有（
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）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【 分 析 】 根 据 函 数 新 定 义 可 推 得 ， ， 恒 成 立 ， 即
， 的值域为 ，满足 ，求出 ，列出不等式求解即可.
【详解】由题意得定义在 上的函数 具有性质 ，
即 ， ，满足 ，
即 ， ， 恒成立；
记函数 ， 的值域为 ， ，
则由题意得 ，
当 ，即 时， 在 单调递减，
则 ，即 ，此时不满足，舍去；
当 ，即 时， 在 时取得最大值，
即 ，即 ，
要满足 ，需 ，解得 或 ，
而 ，故 ，即实数 取值范围为 .
故选：CD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，则函数 的定义域为_______.
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【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】对于函数 ，有 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故答案 ： .
13. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 设函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 ，则
=__________
【答案】4048
【解析】
【分析】将函数 ， 化简为 ，
，构造函数 ，判断奇偶性，根据奇函数的性质，
即可求得答案.
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【详解】由题意
， ，
令 ， ，
则 ，即 为奇函数，
则 ，
结合函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 ，
得 ，则 ，
故答案为：4048
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）设命题 ， ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ；
（2）分析可知， 是 的真子集，根据集合的包含关系可得出实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
且 ，
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则 或 ，故 或 .
【小问 2 详解】
因为 是 的充分不必要条件，则 是 的真子集，且 ， ，
故 ，即实数 的取值范围是 .
16. 已知
（1）求函数 的解析式.
（2）设函数 ，不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 可得函数 的解析式.
（2）利用基本不等式求 的最小值，问题转化为 ，由此可得 的取值范围.
【小问 1 详解】
∵ ，
∴ .
【小问 2 详解】
由题意得，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴当 时， ，
∵不等式 在 上有解，
∴ ，故 ，
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∴实数 的取值范围是 .
17. 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本.据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量
就减少 2000 本.
（1）试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于 20 万元？
（2）假定杂志的成本是每本 1 元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润 最
大？
【答案】（1）
（2） 元
【解析】
【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果；
（2）设杂志提价后的价格为 ，列出杂志销售的利润 表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取
最大值.
【小问 1 详解】
设杂志提价后的价格是每本 （ ）元，
则 ，
即 ，
解得 ，
所以杂志定价位于 内，能使提价后 销售总收入不低于 20 万元.
【小问 2 详解】
设杂志提价后的价格是每本 （ ）元，
则 = （ ），
所以当 时， 取得最大值.
所以杂志提价后价格为每本 元时，杂志销售的利润最大.
18. 已知函数 （ ）是减函数.
（1）判断函数 的奇偶性，并证明；
（2）解关于 的不等式： （ ）.
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【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论；
（2）根据函数的奇偶性以及单调性将 转化为 ，讨论 a
与-2 的大小关系，即可求得答案.
【小问 1 详解】
函数 为奇函数
证明如下：函数 定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数
【小问 2 详解】
由已知及（1）知：不等式 即 ，
等价于 ，即 ，
当 时，则 ；
当 时，则不等式无解；
当 时，则 ；
综上， 的解集为：
当 时，不等式解集为 ，
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为 .
19. 已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有
（1）求函数 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明；
（3）若对 ，都有 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）在 上为增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ， 求出 ， ，再检验即得解；
（2）函数 在 为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）分析得到 对任意的 恒成立，解不等式组 即得解.
【小问 1 详解】
函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 ，解得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
经检验可得， 符合题意．
所以当 时， ，
令 则 ，
所以 ，
则当
综上所述， ；
【小问 2 详解】
函数 在 上是增函数．
证明如下：
任取 ， 且 ，
则
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，
因为 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
故 在 上为增函数；
【小问 3 详解】
由（2）可知，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
由于 对 恒成立，
则 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
构造函数 ，其中 ，
所以 ，即 ，
解得 或 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
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