重庆市2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定直接得解.
【详解】命题“，”的否定为“，”，
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性.
【详解】当时，或，则不满足充分性；
当时，成立，则满足必要性，
∴“”是“”的必要不充分条件
故选：B
3. 已知函数满足，则（ ）
A. -2B. 1C. 4D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，令，即取代入计算即得.
【详解】函数满足，当，即时，.
故选：C
4. 函数是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数的性质直接求出结果即可；
【详解】因为是R上的奇函数，所以，
且当时，函数的解析式为，
所以，
故选：A
5. 若任意，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由恒成立即可求解.
【详解】因为恒成立，
所以原不等式可转换成：恒成立，
即，在上恒成立，又的最小值为0，
所以，
故选：B
6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算，排除BD，利用均值不等式得到时，，排除C，得到答案.
【详解】，，排除BD.
当时，，当时等号成立，排除C；
故选：A
7. 集合的真子集的个数为15个，则实数m的范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合A有15个真子集，可得集合A中有4个元素，解出集合A中的一元二次不等式，可得，分析即可得解.
【详解】由，可得，
又因为，故：
假设集合A中有n个元素，因此集合A有个真子集，即，
故,所以
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的真子集的个数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
8. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值和排除法可得结果
【详解】取，则，
若 ，则，由，得，
解得，符合条件，排除选项A、C,
取，则，
若时，，由，得，
解得，或，都不符合条件，
若，即，由，
得，即，不符合条件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合条件，
综上，，排除B，选D
故选：D
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列各组中的函数与是同一个函数的有（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】AB
【解析】
【分析】由同一函数的定义域，对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.
【详解】由函数的定义可知，选项A，B中的与是同一个函数，
选项C中的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数，
选项D中与的对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AB.
10. 设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】由基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
当且仅当时，等号成立，所以，
的最大值为2，故A错误；
，
当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故B错误.
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，则C正确；
因为为正实数，，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，所以的最大值为，则D正确；
故选：CD
11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 是以8为周期的周期函数
C. 存在函数，使得对，都有
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】依据函数奇偶性定义即可得出，即可判断A正确；结合奇偶性和对称性计算可得是以8为周期的周期函数，利用周期性计算可得，即B正确，D正确；利用反证法假设C选项成立，可得的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误.
【详解】对于A，根据题意由可得；
又为奇函数，联立，
两式相加可得，因此的图象关于点2,1对称，即A正确；
对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以，
可得，即，所以，
即是以8为周期的周期函数，可知B正确；
对于C，假设存在函数hx，使得对，都有，
由，，
可得，，可得；
因此，又，
即的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误.
对于D，易知，由可得，
又，所以；
所以，即D正确；
故选：ABD
【点睛】求解函数对称性、奇偶性、周期性等性质综合性问题时，要充分利用已有性质推出第三个性质进行综合运用进而实现问题求解.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求定义域的法则求解.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，
则函数的定义域为，
故答案为：.
13. 函数，则的值是________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知，，满足，则的最小值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正数，，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为1.
故答案为：1
【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
四、解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）己知R为实数集，求．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）解出，再根据交集的定义即可得解；
（2）根据补集和并集的定义即可得解.
【小问1详解】
由题得．
己知，得．
小问2详解】
因为或，所以或．
16. 已知函数．
（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）a＝2，b＝1；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值；
（2）b＝1时不等式可化为，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集．
【小问1详解】
由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2，
由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1；
【小问2详解】
b＝1时不等式，可化为
即；
当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a；
当a＝1时，解不等式得x≠1；
当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1．
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}；
a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}．
17. 已知函数．
（1）请用定义证明函数在上单调递减；
（2）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
（2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解.
【小问1详解】
证明：任取，且，
则，
因为，且，可得，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
【小问2详解】
解：因为任意，使得恒成立，
即任意，使得恒成立，
由（1）知，函数在为单调递减函数，
当时，可得，所以，
所以实数a的取值范围．
18. 巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【答案】（1）
（2）25艘/海里，最大值为625．
【解析】
【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；
（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.
【小问1详解】
由题意知时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
【小问2详解】
由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值625．
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
（1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【答案】（1）①是在上的“美好函数”；②不是在上的“美好函数”；③不是在上的“美好函数”.
（2）①；②或
【解析】
分析】（1）直接利用“美好函数”定义判断即可；
（2）①先提公因式，判断的范围，然后再讨论的范围，计算即可；②先讨论最大值和最小值，后建立等式计算即可.
【小问1详解】
①因为，所以，所以，，
得，故是在上的“美好函数”；
②因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”；
③因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”
【小问2详解】
①由题得，
当，可知
所以，当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
故
②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上；
当时，此时函数在上单调递减，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
令，解得或
所以此时（舍去），（舍去）
当时，此时函数在上单调递増，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
综上所述：或
【点睛】关键点点睛：函数新概念题型，需要去分析新概念的定义与性质等，然后结合新概念性质与已学知识相结合解答即可.