重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
是符合题目要求的．
1. 如图，全集 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分表示集合 中去掉与集合 中相同的元素所得集合，据此可得结果.
【详解】阴影部分表示：集合 中去掉与集合 中相同的元素所得到的集合，
因为 ，所以阴影部分表示的集合为 ，
故选：B.
2. 命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用命题的否定规则求解即可.
【详解】由命题的否定规则可得，命题 的否定如下，
为 ，故 D 正确.
故选：D
3. 已知 ，设命题 ，命题 ，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值判断充分性、必要性即可得解.
【详解】取 ，满足 ，但 ，充分性不成立，
取 ，满足 ，但 ，必要性不成立．
故 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
故选：D
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断.
【详解】因为 ,所以 是奇函数，
即 图象关于原点对称，故 CD 错误；
因为当 时， ，故 A 错误，B 正确；
故选：B
5. 美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的
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“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植
物的高为 1 米，经过一年，该植物的高为 2 米，要让该植物的高度超过 3.8 米，至少需要（ ）年．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题设有 ，即可求 ，并判断 的单调性后代入数值验证可得.
【详解】依题意可得 ，则 ，解得 ，
∴ ，
因为 在定义域 上单调递减，且 ，又 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，而 ，
即 ，
∴该植物的高度超过 3.8 米，至少需要 4 年.
故选：C.
6. 函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可.
【详解】由题意得 ，令 ，
可得 ，则 ，即原函数化为 ，
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由二次函数性质得 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ， ，当 时， ，
可得 ，即 的值域为 ，故 B 正确.
故选：B
7. 已知函数 的定义域为 ，对 ，满足 ，且有
为奇函数， ，那么 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由 得到函数的单调性，再由 为奇函数得到函数的对称性，
然后由单调性和对称性解抽象函数不等式可得.
【详解】因为对 ，满足 ，即 同号，
所以由单调性的定义可得 在 上为单调递增函数，
又 为奇函数，则 ，即 ，即 图象关于点 对
称，且 ，
所以 在 上也单调递增，则 在 R 上单调递增，
因为 ，由对称性可得 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
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故选：A.
8. 已知 ，若 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论 和 两种情况时，函数 的每段解析式的单调性与最值情况，即可求
解
【详解】① 当 时，
当 时， 单调递增，此时 ；
当 单调递减； 单调递增，
故 时， 的最小值为 ，故若 有最小值，则 ；
②当 时，
当 ，单调递减，此时 ；
当 时, 单调递增，此时 ，
故若 有最小值，则 ，解得 ,
综上实数 a 的取值范围是
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数 与函数 表示同一函数
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B. 若奇函数 满足：当 时， ，则当 时，
C. 若函数 ，则
D. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 两函数的定义域不同，故不是同一函数，判断 A；由奇函数的性质可判断 B 正确；求出
，故 C 正确；函数 的定义域为 ，故 D 正确.
【详解】 的定义域是 ， 的定义域是 ，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以 A 错误;
若奇函数 满足：当 时， ，
则当 时， ，则 ，
又 ，所以 ，故 B 正确；
若函数 ，则 ，故 C 正确；
若函数 的定义域为 ，则函数 中， ，所以 ，即函数 的定义域为
，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可判断 A；由基本不等式可得 B；作差可判断 C，利用基本不等式结合换元法可得 D.
【详解】对于 A，令 ，则 ，故 A 错误；
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对于 B， ，当且仅当 ，即 时取等号，故 B 正确；
对于 C， ，
因为 且 ，则 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 ，当且仅当 时取等号，
令 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 设定义在 上的函数 满足：① ；②当 时， ；③
，则正确的有（ ）
A.
B. 为增函数
C.
D. 关于 的不等式， 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法求出 判断 A，根据函数单调性的定义及函数性质证明单调性判断 B，令 后，
再利用赋值法求出 即可判断 C，根据 C 化简不等式后，换元解不等式，再由函数单调性求解即可判
断 D.
【详解】令 ，可得 ，得 ，再令 ，可得
，解得 ，故 A 正确；
设 ，因为 ，所以 ，令
，则 ，因为 ，所以 ，因为当
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时， ，所以 ，即 ，所以 为减函数，
故 B 错误；
令 可得 ，令 可得 ，
由 ，可得 ，所以 ，故 C 正确；
由 C， 可化为 ，
令 ，
则不等式可化为 ，解得 ，即 ，
因为 为减函数， ，所以由
可得 ，即 ，解得 ，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若 ， ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则求解即可.
【详解】由题意得 ，
因为 ， ，所以 ，可得 .
故答案为：
13. 若关于 的不等式 的解集为 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的联系分析得 的关系，从而求得 的值.
【详解】当 时，由 ，得 ，不合题意；
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当 时，因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以函数 的图象开口向下，且方程 的两根为 .
所以 ，化简得 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知 ，函数 在区间 上 最大值是 5，则 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】由 的取值范围，结合题意，得 的取值范围，进而得到 的取值范围.
【详解】 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
由 ，得 .
若 ，则函数 ，显然不符合题意；
若 ，则 .
由函数 在区间 上的最大值是 5，得：当 时， ，
即 ，即 .
所以 ，
.
所以 ，所以 .
检验：
当 ，则 ，所以函数 ，此时函
数 在区间 上的最大值是 5，符合题意；
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当 ，因为 ，所以 ，
所以函数 ，当且仅当 ，即 ,或 时， 取
得最大值 5，符合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
故答案是： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集为 ，集合 ．
（1）求 和 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求解一元二次不等式与分式不等式，再结合集合的交并补混合运算法则求解即可.
（2）对 是否是空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系建立不等式组，求解参数范围即可.
【小问 1 详解】
令 ，解得 ，
则 ， ，
令 ，化简得 ，解得 ，得到 ，
则 ， .
【小问 2 详解】
当 时，满足 ，
此时 ，解得 ，
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当 时，可得 ，解得 ，
综上可得， ，即 的取值范围为 .
16. 已知幂函数 是定义在 上的偶函数．
（1）求 的解析式，并根据定义证明 在 上单调递增．
（2）对 恒有意义，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的性质结合题意求解参数，进而求出解析式，再利用定义法证明单调性即可.
（2）结合题意转化为二次函数在定区间上的恒成立问题，再利用分离参数法与基本不等式求解参数范围即
可.
【小问 1 详解】
因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，此时定义域不为 ，故排除，
当 时，可得 ，由二次函数性质得 是偶函数，
任取 ，且使 ，
可得 ，
则 ，得到 在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由题意得 ，
若 有意义，则 在 上恒成立，
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可得 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 恒成立，
由基本不等式得 ，即 ，
当且仅当 时取等，此时解得 ，得到 .
17. 重庆某化工厂为响应国家环保政策，引进了一种生产某化工产品 新型环保设备．通过市场分析发现，
每月需投入固定维修成本 4000 元，生产 吨产品需另投入成本 元，且
若每吨产品售价 2000 元，且该化工厂每月生产的化工产品
当月内能全部售完．
（1）求化工厂所获用利润 （元）关于月产量 （吨）的函数关系式；
（2）当月产量为多少吨时，化工厂由该环保设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
【答案】（1）
（2）月产量为 吨时，所获得月利润最大，最大月利润为 元
【解析】
【分析】（1）分别求出当 与 时的利润表达式，即可得解；
（2）利用二次函数及基本不等式分别求每段的最大值，比较大小即可得出结论.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时，
所以 .
小问 2 详解】
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①当 时, ，
所以当 时， ；
②当 时，
，当且仅当
，即 时取等号，
因为 ，所以 时， 最大，
所以月产量为 吨时，所获得月利润最大，最大月利润为 元.
18. 已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）解关于 的不等式： ；
（3）若 ， ，对 ， ，使得
，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算可得；
（2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得；
（3）先由题意得 在 上的最大值大于 在 上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的
单调性得到 的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到 的表达式，最后结合二次函数的性质分
析可得.
【小问 1 详解】
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.
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
所以 ，
因为 ，
由复合函数的单调性可得 在定义域上为递增函数，
所以 ，即 ，解得
或 ，
所以不等式的解集为 .
【小问 3 详解】
由题意得 在 上 最大值大于 在 上的所有函数值.
，
由指数函数的性质可得 在 上单调递减，
时， ； 时 ， .
所以 的值域为 .
所以
令 ，所以 ，
由指数函数的性质可得 是单调增函数，
当 时， ，当 时 ，所以在 上 的取值范围是 ，
设 对称轴为 ，开口向上，
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当 时， ，解得 ；
当 时， ，
综上，实数 的取值范围为 .
19. 已知函数 的定义域均为 ．定义：①若存在 个互不相同的实数 ， ，使
得 ，则称 与 关于 “ 维交换”；②若对任意 ，
恒有 ，则称 与 关于 “任意交换”．
（1）判断函数 与 是否关于 “1 维交换”，并说明理由；
（2）设 ，若存在函数 ，使得 与 关于 “任
意交换”，求 的值；
（3）设 ，若 与 关于 “3 维交换”，求实数 的
值．
【答案】（1） 与 关于 “ 维交换”；证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由“ 维交换”的定义，列出方程并求解即可判断.
（2）由 与 关于 “任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出 ，借助恒
等式求解参数即得.
（3）根据给定条件可得 ，再按 、 讨论分段函数零
点即可得解.
【小问 1 详解】
函数 与 关于 “ 维交换”，理由如下：
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显然 ， ，
令 ，即 ，解得 ，
得到 与 关于 “ 维交换”
【小问 2 详解】
依题意，对任意 ，恒有 成立，
而 ，
由题意可得，对于 ，一定不含 x 的奇次项，
得到 ，而 ，解得 ，即 的值为 ，
【小问 3 详解】
令 ，
依题意，函数 在 上有 个零点，
显然 ，即 是函数 的零点，
当 时，若 ，则 ， ， ，
即函数 在 时无零点，
若 ，则 在 上单调递增，
， ，函数 在 时只有 个零点，不符合题意，
因此 ，①当 时， ，
显然函数 的图象恒过点 ， ，
则当 时，函数 的图象开口向上，
在 时仅有一个零点，
当 时， ， 在 时没有零点，
②当 时， ，
显然函数 的图象恒过点 、 ，
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，当 ，即 时， 在 时仅有一个零点，
当 ，即 时， 在 时有 个零点，
当 ，即 时， 在 时没有零点，
③当 时， ，
显然函数 的图象恒过点 、 ，
当 时， 在 时无零点，当 时， 在 时有 个零点，
综上所述，当 时， 有 个零点，
所以当 与 关于 “ 维交换”时， ，
故实数 的值是 .
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