精品解析浙江省杭州市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知向量且，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求解.
【详解】因为向量且，
所以，
即，解得.
故选:B.
2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解.
【详解】因为，即，
即，则.
故选：A.
3. 已知直线与，则与之间的距离为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解．
【详解】，
直线，
直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为，
．
故选：D．
4. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ）
A. 9B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解．
【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列，
所以，即，
解得 （舍去）或，
所以．
故选：A．
5. 已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得点C在以为直径的圆上，记为圆D，求出圆D的圆心和半径，分析可得直线l与圆D有公共点，根据直线与圆的位置关系，分析计算，即可得答案.
【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D．
因为，，所以圆心，圆D的半径，
因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点，
所以圆心D到直线l的距离，即，
化简得，解得，即实数k的取值范围是．
故选：B
6. 定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（ ）

A. 函数的增区间是，
B. 函数的减区间是，
C. 是的极大值点
D. 是的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值．
【详解】根据的图象可知：当时，；
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.
故ABD错误，C正确．
故选：C．
7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目的递推关系计算，进入循环后即可.
【详解】因为，
所以，
，
，
，
，
，
，
，
从 开始，数列进入周期：
从开始计算周期位置：，
余，
说明对应周期中的第项，.
故选：C.
8. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究在上的单调性，结合得，利用零点存在性有，进而依次判断各项的正误.
【详解】由题设且，，则，
构造且，则，
所以在上单调递增，则，
而，
所以有唯一的正根，位于区间，则，故，
对于，
令且，所以，
故在上单调递增，
所以，A对，
对于，B对，
对于，
而，
且在上单调递增，则，即，
所以，而，则，C对，
对于在上单调递增，
所以，D错.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正方体中，则（ ）
A. B.
C. 与是异面直线D. 与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A， 连接，在直角中不垂直于，所以；对于B，连接，结合线面垂直判断线线垂直；对于C，与无交点也不平行判断即可；对于D，因为，故与所成角等于与所成角，利用余弦定理计算即可.
【详解】对于A， 由正方体的性质可得，
因为正方体，所以面，
而面,所以，
所以在直角中不垂直于，所以错误；
对于B，连接，
因为正方体，，面，
而面，所以，
又，面，所以面，
又因为面，所以，所以B正确；
对于C，平面，平面，平面，，
故与是异面直线，故C正确；
对于D，因为，故与所成角等于与所成角或其补角，
设正方体棱长为，则，，
设与所成角为，因为为直角三角形，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
10. 已知抛物线：的焦点为，准线为：，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若点为抛物线上一点，则周长的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的定义即可逐一判断.
【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为，即，解得，故A错误；
对于B，由选项A可知抛物线：焦点为，
设，因为为线段的中点，
所以，
由，所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，，
所以，，
因为，故C错误；
对于D，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
由的坐标可知，
所以的周长为，
当且仅当P为与抛物线的交点时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.
故选：BD

11. 数列满足，，，记，则（ ）
A. B. 是递增数列
C. 是等比数列D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知可得，同时除以，构造等比数列，可得，累加法求的通项公式，可以判断选项ABC，选项D，裂项相消法求和.
【详解】因为，
，所以，
等式两边同时除以，可得,
即，令，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
则，，
所以
，
所以，，
，故选项A错误；
递减，所以递增，
所以是递增数列，故选项B正确；
，所以是等比数列，
故选项C正确；
因为，所以，
，
，，
所以.
故选项D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设数列的前项和，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解.
【详解】数列的前项和，
当时，，
当时，，
因为适合上式，所以.
故答案为：
13. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解.
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
14. 已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由圆的切线性质及椭圆的几何性质，结合三角形三边关系求离心率的范围.
【详解】若的内切圆与分别相切于，且位于第一象限，
所以，，，如下图示，
由，
且，
由三角形三边关系知，所以，
所以，而，故离心率范围为.
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求极值；
（2）若过点作的切线，求切线的方程．
【答案】（1）极大值，极小值
（2）或
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数讨论单调性及极值点，进而求出函数极值；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用切线过定点求出切点坐标，进而求出切线方程．
【小问1详解】
函数求导得，
令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
在取得极大值，极大值为；
在取得极小值，极小值为．
【小问2详解】
设切点为，切线斜率为，
切线方程为，
代入点得，
化简整理得，解得或，
当时，，斜率，切线方程，即；
当时，，斜率，切线方程为，即．
16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点.

（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直；
（2）根据线面角的向量求法即可求出.
【小问1详解】
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，.
，，
则，所以.
【小问2详解】
在平面中，，，.
设平面的法向量为，则，
即，所以，
令，则，，所以.
故直线与平面所成角的正弦值为.

17. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是递减数列，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过累加法求出数列的通项公式；
（2）先根据是递减数列得到，再结合数列的通项公式，通过分离参数法求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，，，，
将上述个式子相加，得：，
设，
则，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
当时，，上式也成立，
所以；
【小问2详解】
因为是递减数列，所以，
即，
由（1）可知，，所以，
设，则，
，
当时，，即；
当时，，即；
所以是数列的最大项，即，
所以，实数的取值范围是.
18. 已知双曲线：过点，且离心率.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知动点，且.过双曲线的右焦点的直线交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，且.
（i）取、分别为，的中点，为坐标原点.证明：、、、四点共线；
（ii）记的面积为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由双曲线所过点，离心率，以及双曲线中的关系，列方程求解即可；
（2）（i）设方程与双曲线联立，由韦达定理表示出中点的坐标，表示出，由同理得，得三点共线，再由相似三角形证明三点共线，从而可证四点共线；
（ii）由（i）得出四点共线，得出，结合韦达定理表示出，换元后求导可得最小值.
【小问1详解】
由题意解得，
双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
（i），设方程：，，
联立得，
其中，
则由韦达定理得，
，，
则，
由于，则设方程，，
联立得，
其中，
则由韦达定理得，
，，
则，
则三点共线，
由于，交于，
则与相似，
则，，
由于、分别为，的中点，
则，
则与相似，
则，
由于三点共线，则三点共线，
则四点共线.
（ii）由（i）四点共线，则，可得，
点到直线的距离，
，
则，
则，
设，则，
则，
则，
则时，，单调递减，
时，，单调递增，
则，此时
则.

19. 已知函数.
（1）当时，讨论在上的零点个数；
（2）若，，记函数的零点为，数列的前项和为.证明：
（i）数列为递减数列；
（ii）.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）转化为与交点个数进行讨论，对求导分析即可；
（2）（i）可构造函数，利用函数零点和单调性证明的单调性，进而得到的单调性；
（ii）由（1）所得放缩式子，对进行裂项放缩求和即可证明.
【小问1详解】
当时，，
令，即，即，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
极大值，
当趋于0时，趋于，当趋于时，趋于，
则当时，与无交点，无零点，
当时，与恰有1个交点，恰有1个零点，
当时，与恰有2个交点，恰有2个零点.
【小问2详解】
（i）当，时，，在，均单调递增，
当时，恒成立，无零点，
由知, ，
设函数，则，
又 ，且在上单调递增，
则，，
则数列为递减数列.
（ii）当时，由（1）得 ，
则，
则，
则，
则
.