浙江省杭州第二中学2026届高三上学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知函数是上的奇函数，则（ ）
A. 2B. -2C. D.
4. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 记数列前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
7. 已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A. B. C. 11D.
8. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学．对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边．不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角．已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．类比二面角，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为．其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角．以下说法，正确的是（ ）
A. 任意球面三角形的内角和为
B. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面的三个内角的余弦值有一个是
C. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面的面积为
D. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面的面积为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A B.
C. 的图象关于直线对称D. 在上的值域为
10. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 角的最大值为
C. D. 的取值范围是
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数单调递增
B 当时，函数有两个极值
C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D. 当时，若，直线与曲线有三个交点，，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知且，若对于任意的，都有，则________________.
13. 对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）．
14. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设．
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）证明：．
16. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．
（1）求的值：
（2）证明：
（i）；
（ii）；
（iii）．
（3）写出的最简表达式（结果用含的式子表达）．
17. 已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点．
（1）若，，求二面角的余弦值；
（2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由．
18. 给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜．
（1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由；
（2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由．
19. 学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体.棱和面与圆柱侧而相切，点是棱与圆柱侧而的切点.直线分别与面，面交于点，圆柱在面，面上分别截得椭圆.在平面和平面中，椭圆上分别有两组不重合的两点和（图中未画出）.且满足关系.已知三棱锥的外接球表面积为，圆柱的底面直径为，请问平面，平面上是否分别存在点，使得对于满足的直线分别恒过定点.若存在，试求和夹角的余弦值：若不存在，请说明理由.