2026届高三数学二轮复习课件：板块二　数列　提优点4　衍生数列问题（含解析）

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衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列,或由已知的两个数列的公共项得到新数列,解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系,确定衍生数列的特征,以此来解决问题.
类型一　数列中的去项问题
类型二　数列中的公共项问题
类型三　数列中的并项问题
类型四　数列中的插项问题
则当x=25,y=5时,2×25=50∈[25,26),不等式组成立;当x=26,y=6时,2×26=520且q≠1,
所以a1=2,所以an=a1qn-1=2n.
(2)记bn=2n-1,将数列{an}与{bn}中的项按从小到大的顺序依次排列,构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前50项和T50.
解决数列的并项问题的难点,也是易错之处,为确定两个数列中各有多少项作为新数列的项,求解时可利用解不等式法或试探法.
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2,数列{bn}满足2bn=bn-1+bn+1,且a2=4b1,a3=b8.(1)求{an}和{bn}的通项公式;
由S2=2a2-2,S3=a4-2两式作差可得a3=a4-2a2,即a2q=a2q2-2a2,∵a2≠0,则q2-q-2=0,∵q>0,解得q=2,∴2a2-2=4a1-2=a1+a2=3a1,解得a1=2,∴an=a1qn-1=2n.∵2bn=bn-1+bn+1,
(2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{cn},求数列{cn}的前100项和T100.
(2025·嘉兴调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an+1=2Sn+3.(1)求数列{an}的通项公式;
由an+1=2Sn+3,得an=2Sn-1+3(n≥2),两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)(n≥2),即an+1-an=2an(n≥2),an+1=3an(n≥2),得等比数列{an}的公比q=3,又当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=3a1,所以a1=3,所以an=3n.
(2)在数列{an}的相邻项ak与ak+1(k∈N*)之间插入k个相同的数(-1)k,使其与原数列构成新数列{bn},设Tn为数列{bn}的前n项和,求T40.
解决插项问题,首先要清楚插入数列的项数,新插入数列与原数列各项之间的关系,然后利用分组或并项法求和.
(2025·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;
设等比数列{an}的公比为q,由题意知,当n=1时,a1q=2a1+2,①当n=2时,a1q2=2(a1+a1q)+2,②联立①②,解得a1=2,q=3,所以数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.
1.(2025·青岛质检)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S5=15,a2=2,等比数列{bn}满足a1+a3=b2,2a4=b3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
所以等比数列{bn}的通项公式为bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n,所以数列{an},{bn}的通项公式分别为an=n,bn=2n.
∵数列{an}各项均为正数,∴an+1-an=1,又∵a2-a1=1,∴数列{an}为等差数列,故an=a1+n-1=n.
(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k个相同的数2k构成一个新数列{bn}:a1,2,a2,22,22,a3,23,23,23,a4,…,求{bn}的前90项和T90.