2025-2026学年广东省深圳市福田区名校九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年广东省深圳市福田区名校九年级上学期期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1.发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ）
A.B.
C.D.
2.数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ）
A.B.
C. D.
3.在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ）
A.B.C.D.
4.如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ）
A.2倍B.3倍C.倍D.倍
5.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.2
6.在紫憩水吧，小深通过将固体糖溶入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁．然后，将四杯糖水关键信息绘制如图：轴为糖水质量，轴为含糖浓度（固体糖质量与糖水质量之比）．乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上．则含固体糖质量最多的是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A.B.
C.D.
8.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
9.已知，则_____．
10.在锐角三角形中，若满足，则_____．
11.当时，二次函数中随的增大而减小，则可能是_____．（写出一个即可）
12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______．
13.如图，中，为线段上一点（不与、重合），连接，在内部作线段，使得，连接，则_____．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14.解方程：
（1）；
（2）．
15.深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔垂直于桥面，测角仪、在两侧，垂直于桥面，，点与点相距（点，，在桥面所在直线上），在处测得桥塔顶点的仰角为，在处测得桥塔顶点的仰角为．求桥塔的高度（参考数据：，结果精确到）．
16.东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间＋校内实践基地＋校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫·耘农场”“紫·膳厨房”“紫·憩水吧”“紫·护养殖基地”（分别记作，，，），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫·憩水吧”的概率为_____；
（2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率．
17.小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gã）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表：
（1）小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
（3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由．
18.下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程：
已知：如图1，是直角三角形，，是中点．求作：点，使得四边形是矩形．作法：①作射线；
②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点；
③连接、，所以四边形为矩形，点即为所求．
根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）证明：四边形是矩形；
（3）如图2，在矩形的边、上各有一点、，且经过中点，请在、上各找一点、，使得四边形为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）．
19.【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义：
图1
【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”．
【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究：
（1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____；
②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中；
③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”．
【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____；
③验证：请用证明验证你的猜想．
【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围．
20.【综合与探究】
（1）小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形．连接对角线，经测量，小紫尝试用已学知识证明，以下是其思路与方法，请完成填空：
（2）爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形中，，，对角线与交于点．
①图4中存在多对相似三角形，如：，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形；
②在图4中，若，，则求出的值；
【变式拓展】
（3）如图4，若在（2）的四边形中有，为边上一动点，将沿翻折，点对应点为，射线交于点，其中，，请直接写出线段的长．
点与点的距离
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小
300
200
150
120
100
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
上的点
…
…
对应“倍位似点”
…
…
对应“倍位似点”
…
…
证明：如图3，作，，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴____________________，
且在与中，，，
∴，
∴____________________，
∴平分，
∴．