初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）平行线的性质优质学案

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▉题型1 平行线的性质
【知识点的认识】
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
1．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1＝60°，那么∠2等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【解答】解：已知直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），
∠4＝90°（已知），
∠2+∠3+∠4＝180°（已知直线），
∴∠2＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
故选：A．
2．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．72°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠1＝∠AEF，
由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′，
∵∠1＝2∠2，
∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2，
∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°，
∴2∠2+2∠2+∠2＝180°，
解得∠2＝36°．
∴∠AEF＝72°．
故选：C．
3．如图，l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠2+∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝30°，∠2＝50°，
∴∠3＝100°．
故选：B．
4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．35°C．30°D．45°
【答案】C
【解答】解：如图，
由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°，
故选：C．
5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（ ）
A．57°B．66°C．67°D．74°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵∠BCE＝67°，
∴∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝133°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝66°，
故选：B．
6．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝35°，则∠2＝（ ）
A．105°B．145°C．135°D．150°
【答案】B
【解答】解：如图所示，延长AB与直线l2交于点E，
∵l1∥l2，∠1＝35°，
∴∠1＝∠AED＝35°（两直线平行，内错角相等）．
∵∠α＝∠β，
∴AE∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠AED＝180°﹣35°＝145°．
故选：B．
7．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（ ）
A．45°B．40°C．25°D．20°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵CM∥BN，
∴∠MCB＝∠α＝20°，
∴∠β＝∠ACB﹣∠MCB＝25°，
故选：C．
8．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠FED＝56°，
∵∠HFB＝18°，
∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°．
故选：C．
9．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
10．下列结论错误的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】A
【解答】解：A、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项错误，符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，正确，不合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不合题意；
D、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确，不合题意；
故选：A．
11．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（60°角的顶点在直尺的边上），若∠1＝54°，则∠2＝（ ）
A．144°B．154°C．134°D．126°
【答案】A
【解答】解：如图，
由题意，知a∥b，∠4＝90°，
∵a∥b，∠1＝54°，
∴∠3＝∠1＝54°（两直线平行，同位角相等），
∵a∥b，∠4＝90°，
∴∠2＝∠3+∠4＝54°+90°＝144°，
故选：A．
12．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【答案】D
【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故选：D．
13．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，现调节台灯使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（ ）
A．58°B．68°C．32°D．22°
【答案】B
【解答】解：过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，
∵CD∥MN，
∴AG∥MN∥BH∥CD，
∵OA⊥MN，
∴AG⊥OA，
∵∠BAO＝158°，
∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，
∴∠ABH＝∠BAG＝68°，
由题意可得：∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，
∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，
∴∠DCE＝∠ABH＝68°．
故选：B．
14．在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】A
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣150°＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
15．如图，已知CD∥AB，MN⊥CD于点N，若∠M＝32°，则∠1的大小是（ ）
A．32°B．42°C．58°D．68°
【答案】C
【解答】解：如图，∵MN⊥CD，
∴∠MNE＝90°，
∵∠M＝32°，
∴∠MEN＝58°，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠MEN＝58°，
故选：C．
16．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】D
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
17．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（ ）
A．22°B．32°C．35°D．122°
【答案】B
【解答】解：∵CB∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA＝122°，
∵∠BON＝90°，
∴∠AON＝122°﹣90°＝32°，
故选：B．
18．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵两条入射光线平行，
∴∠1＝∠3＝100°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝80°，
故选：C．
19．如图，AB∥CD，∠A＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．130°B．110°C．100°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A．
∵∠A＝70°，
∴∠2＝70°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝110°．
故选：B．
20．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为 40 °．
【答案】40．
【解答】解：如图，
∵DK⊥OA，∠i＝50°，
∴∠i＝∠r＝50°，∠ADK＝∠1+∠r＝90°，
∴∠1＝40°，
∵CD∥OB，
∴∠AOB＝∠1＝40°，
故答案为：40．
21．如图，已知AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，若∠B＝45°，∠C＝20°，则∠M的度数为 75° ．
【答案】75．
【解答】解：过点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥FN∥CD，
设∠EMN＝x，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BME＝45°，
∵ME∥FN，
∴∠EMN＝∠MNF＝x，
∵FN∥CD，
∴∠DCN＝∠FNC＝20°，
∵2∠BMN＝3∠MNC，
∴2（45°+x）＝3（x+20°），
解得：x＝30，
∴∠EMN＝30°，
∴∠BMN＝∠BME+∠EMN＝75°，
故答案为：75°．
22．如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 50° ．
【答案】50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′=12∠BEB′＝50°，
故答案为：50°．
23．如图，AB∥CD，∠A＝30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为 60° ．
【答案】60°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝30°，
∴∠CDA＝∠A＝30°
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE＝2∠CDA＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠DEB＝∠CDE＝60°，
故答案为：60°．
24．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝ 68° ．
【答案】68°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝56°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，
∴∠DEG＝112°，
∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°
25．如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72° ．
【答案】72°．
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72°．
26．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝ 122° ．
【答案】122°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，
∴∠BOD＝∠ODC＝32°．
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝90°+32°＝122°．
∵OE∥DM，
∠ANM＝∠EOB＝122°．
故答案为：122°．
27．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为 64 °．
【答案】64
【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°，
∵∠CBD＝19°，
∴∠FBD＝45°+19°＝64°，
由题意可知，EF∥GH，
∴∠BDH＝∠FBD＝64°，
故答案为：64．
28．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数．
请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
解：因为EF与CD交于点H（ 已知 ），
所以∠3＝∠4（ 对顶角相等 ）．
因为∠3＝60°（已知），
所以∠4＝60°（ 等量代换 ）．
因为AB∥CD（已知），
所以∠4+∠FGB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
所以∠FGB＝ 120° ．
因为GM平分∠FGB（已知），
所以∠1=12 ∠FGB ＝ 60° （ 角平分线的定义 ）．
【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义．
【解答】解：将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
因为EF与CD交于点H（已知），
所以∠3＝∠4（对顶角相等）．
因为∠3＝60°（已知），
所以∠4＝60°（等量代换）．
因为AB∥CD（已知），
所以∠4+∠FGB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠FGB＝120°．
因为GM平分∠FGB（已知），
所以∠1=12∠FGB=60°（角平分线的定义），
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义．
29．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3
∴DG∥AB，
∴∠BAC+∠AGD＝180°，
∴∠AGD＝110°
30．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AC∥DG．
理由：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ACD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ACD＝∠2，
∴AC∥DG．
（2）∵AC∥DG，
∴∠BDG＝∠A＝40°，
∵DG平分∠CDB，
∴∠CDB＝2∠BDG＝80°，
∵∠BDC是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣40°＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
31．【课题学习】平行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝ ∠EAB ，∠C＝ ∠DAC ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝ 180° ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°；
（2）∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解答．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴180°﹣∠B+∠C＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
理由：过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
32．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间．
（1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 ∠1+∠2＝∠EMF ．
（2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由；
②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小．
【答案】（1）∠1+∠2＝∠EMF；（2）①ME⊥MF，理由见解析；②90°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF，
∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF，
∴∠1+∠2＝∠EMF，
∴∠1，∠2，∠EMF 之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF，
故答案为：∠1+∠2＝∠EMF；
（2）①ME⊥MF，理由如下：
∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝60°，
由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°，
∴ME⊥MF；
②由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2，
∵ME平分∠AEN，
∴∠AEN＝2∠1＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠EKD＝∠AEN＝60°，
∴∠N＝60°﹣∠CFN，
∵FC平分∠MFN，
∴∠2＝∠CFN，
∴∠EMF+∠ENF＝90°．
▉题型2 平行线的判定与性质
【知识点的认识】
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
33．如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”，其中依据的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解答】解：由作图可得：画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：B．
34．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D+∠BAD＝180°D．∠B＝∠DCE
【答案】B
【解答】解：如图所示，∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠4，
A、由于AB与CD不一定平行，则∠1＝∠2不一定正确，不符合题意；
B、∠3＝∠4正确，符合题意；
C、由于AB与CD不一定平行，则∠D+∠BAD＝180°不一定正确，不符合题意；
D、由于AB与CD不一定平行，则∠B＝∠DCE不一定正确，不符合题意；
故选：B．
35．在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB
的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠CEF＝120°，
∴∠FE＝∠GFB＝60°，
∵∠HFG＝40°，
∴∠BFH＝∠GFB＝∠HFG＝20°，
故选：B．
36．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，所以结论①正确；
∵∠CAD＝∠1+∠2+∠3，
∴∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，所以结论②正确；
如果∠2＝30°，则∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E，故AC∥DE，所以结论③正确；
如果∠2＝45°，则∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B，故BC∥AD，所以结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
37．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝30°．则AC∥DE
B．若BC∥AD，则∠2＝45°
C．∠BAE+∠CAD＝180°
D．若∠CAD＝140°，则∠4＝∠C
【答案】D
【解答】解：由题意，知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，
A．若∠2＝30°，
∴∠1＝∠BAC﹣∠2＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，所以此选项正确，不符合题意；
B．若BC∥AD，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴∠2＝∠DAE﹣∠3＝45°，所以此选项正确，不符合题意；
C．∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，所以此选项正确，不符合题意；
D．若∠CAD＝140°，∠D＝30°，
∴∠CAD+∠D＝170°．
∴AC和DE不平行，
∴∠4≠∠C，所以此选项错误，符合题意．
故选：D．
38．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（ ）
A．①④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】D
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC，
∴∠1＝∠DEC，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，①正确，故符合要求；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB不一定等于∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°，②错误，故不符合要求；
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠EAD=∠1=12∠BAD，
∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠EDA＝∠2，
∴DE平分∠ADC；③正确，故符合要求；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF=∠MAF=12∠EAM，∠EDF=∠NDF=12∠EDN，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN＝180°，
∴∠EAM+∠EDN＝270°，
∴∠EAF+∠EDF=12(∠EAM+∠EDN)=135°，
∴∠F＝360°﹣∠EAF﹣∠EDF﹣∠AED＝135°，为定值；④正确，故符合要求；
故选：D．
39．如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：
①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③
【答案】B
【解答】解：
①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；
③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．
故选：B．
40．在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α°（0＜α＜45），则下列结论：①BC⊥DE；②AB∥ED；③∠2＝（45+α）°；④当α＝15时，AC平分∠MAB．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝90°，
∴BC⊥DE，故①正确；
∵∠B＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴AB∥ED，故②正确；
延长AB交直线l2于点G，如图，
∵∠1＝α°，AB∥ED，
∴∠G＝∠DEN＝∠DEF+∠1＝（45+α）°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠G＝（45+α）°，故③正确；
当α＝15°时，∠2＝（45+15）°＝60°，
∴∠CAM＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BAC
∴AC平分∠MAB，故④正确，
故选：D．
41．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
【答案】C
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
42．如图，将长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置上，再沿着线段AD折叠后，A′，B′点分别落在点M，N的位置上，已知∠CFG＝70°，则∠FEM的度数是（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
【答案】B
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CFG＝∠B′GD，
∵∠CFG＝70°，
∴∠B′GD＝70°，
∵A′E∥B′G，
∴∠A′EG＝∠B′GD＝70°，
∵沿着线段AD折叠后，A′，B′点分别落在点M，N的位置上，
∴∠MEG＝∠A′EG＝70°，
∵∠CFG＝70°，
∴∠GFB＝180°﹣∠CFG＝110°，
∵ABCD沿着直线EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置上，
∴∠BFE＝∠EFG=12∠GFB＝55°，
∵AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE＝55°，
∴∠FEM＝∠MEG﹣∠GEF＝70°﹣55°＝15°，
故选：B．
43．下列说法中，正确的是（ ）
A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确；
故选：D．
44．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C
【解答】解：将太阳能板绕P点旋转到DE位置时，太阳光FB⊥DE、DC⊥DE，
∵DC∥FB，
∴∠DCB＝∠FBA＝40°，
∵∠DPC＝90°，
∴∠CPD＝90°﹣∠DCB＝50°，
故选：C．
45．在中国传统建筑中，“四梁八柱”不仅是一个工艺术语，更是一种独具东方智慧的结构美学．它不仅承载了建筑物的重量，更呈现了生活中的数学之美．其中房梁中的一些图形可抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D、E、F分别在边AC，AB，BC上，DF∥AB，∠B＝∠EDF，则下列结论错误的是（ ）
A．DE∥BCB．∠BFD＝∠BED
C．∠B+∠CDE＝180°D．∠AED＝∠DFC
【答案】C
【解答】解：∵DF∥AB，
∴∠B＝∠CFD，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠CFD＝∠EDF，
∴DE∥BC，故A正确；
∵DF∥AB，
∴∠B+∠BFD＝180°，
∵DE∥BC，
∴∠B+∠BED＝180°
∴∠BFD＝∠BED，故B正确；
∵DF∥AB，
∴∠B＝∠CFD，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AED，
∴∠AED＝∠DFC，故D正确；
无法证明∠B+∠CDE＝180°，故C错误．
故选：C．
46．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论：
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝3∠H；
③∠H+∠F＝∠FGD；
④4∠H﹣∠F＝180°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD，
∴结论①正确；
AB∥CD，如图，过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝3x，∠FGH＝3y，
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠FEN+∠FGH＝3∠EHG，
∴结论②正确；
∴∠EFM＝∠GFP﹣∠EFP＝∠FGC﹣∠EFP
＝（∠CGH+∠HGF）﹣（180°﹣∠FEN﹣∠NEB）
＝y+3y﹣（180﹣3x﹣x）
＝4x+4y﹣180°，
∠EHG+∠EFG＝x+y+4x+4y﹣180°＝5x+5y﹣180°，
∵∠FGD＝180﹣4y，
∴∠EHG+∠EFG≠∠FGD，
∴结论③错误；
∵4∠EHG﹣∠EFM＝4（x+y）﹣（4x+4y﹣180°）＝180°，
∴结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②④，有3个，
故选：C．
47．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”．其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解答】解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
48．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠1＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝45°，则有BC∥AD；④如果∠4＝∠C，必有∠2＝30°，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，故①正确；
∵∠1＝30°，
∴∠CAD＝∠1+∠2+∠3＝120°，
∵∠D＝30，
∴∠CAD+∠D＝150，
∴不能判断AC∥DE，故②错误；
∵∠2＝45°，
∴∠3＝45°＝∠B，
∴BC∥AD．故③正确；
∵∠4＝∠C，
∴AC∥DE，
∴∠1＝∠E＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，故④正确．
故选：C．
49．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分）
证明：过点G作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴①MN ∥CD．
∵MN∥AB，
∴② ∠A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝③ ∠DGM （④ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 32° ．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）见解答；
（3）32°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，
∵∠AFC＝72°；
∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°，
∵AH平分∠GAB，
∴∠HAB=12∠GAB=12×108°=54°，
∵DC∥AB，
∴∠HQC＝54°，
∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°．
50．【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．
请将下列证明过程补充完整：
证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝ ∠BAM （角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝ ∠BAM （两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC．
【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数．
【答案】（1）∠BAM，∠BAM；（2）证明见解析；（3）76°．
【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
故答案为：∠BAM，∠BAM．
（2）证明：∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM．
又∠CAM＝∠CMA，
∴∠CMA＝∠BAM．
∴AB∥CD．
∴∠AEF＝∠EFD．
又∠AEF＝∠C，
∴∠EFD＝∠C．
∴EF∥AC．
（3）解：由（2）EF∥AC，过M作MG∥AC，
∴EF∥MG．
∴∠GME＝∠FEM．
又MG∥AC，
∴∠CAM＝∠AMG．
∴∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME．
∵∠CAM＝3∠MEF＝57°，
∴∠MEF＝19°．
∴∠AME＝∠CAM+∠FEM＝57°+19°＝76°．
51．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；
（2）34°．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=12∠ABD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
所以∠C的度数为34°．
52．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°，
∴∠BDC＝64°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=12∠BDC＝32°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝32°（已证），
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°．
53．如图：BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC＝180°，求证：∠1＝∠2．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠BHC＝∠FHD，∠GFH+∠BHC＝180°，
∴∠GFH+∠FHD＝180°，
∴FG∥BD，
∴∠1＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝∠ABD，
∴∠1＝∠2．
54．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ）．
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）．
∴∠4＝ ∠D （两直线平行，同位角相等）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴ ∠4 ＝∠C（等量代换）．
∴DF∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【答案】对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【解答】证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠D（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
55．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
请说明：DE∥BC．
解：∵CD⊥AB（ 已知 ），
∴∠ADC＝ 90° （ 垂直的定义 ）．
∴∠1+ ∠CDE ＝90°．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ∠CDE ＝ ∠2 （ 同角的余角相等 ）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【答案】已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解答】解：由条件可知∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴∠1+∠CDE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠CDE＝∠2（同角的余角相等），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
56．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
【答案】（1）80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°．
【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∵∠B＝135°，∠D＝145°，
∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°，
∴∠BCD＝80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，
如图，∵CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，
即∠B+∠BCD+∠D＝360°．
57．在下列解答中，填空（理由或数学式）．
如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求证：直线a∥c．
解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 对顶角相等 ），
∴∠2＝116° （ 等量代换 ）．
∵b∥c（已知），
∴∠AOB＝∠2 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∴∠AOB＝ 116° （等量代换）．
证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 已知 ），
∴a∥b （ 内错角相等，两直线平行 ）．
又∵b∥c（已知），
∴a∥c （ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
【答案】（1）对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°；
（2）已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【解答】（1）解：∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠2＝116° （等量代换），
∵b∥c（已知），
∴∠AOB＝∠2（两直线平行，同位角相等），
∴∠AOB＝116°（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°；
（2）证明：∵∠3＝∠4（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
又∵b∥c（已知），
∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
58．如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：EF∥DC；
（2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）148°．
【解答】（1）证明：∵DH∥AC，
∴∠DCF＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DCF+∠2＝180°，
∴EF∥DC；
（2）解：∵DH∥AC，
∴∠BHD＝∠ACB，
∵∠BHD＝64°，
∴∠ACB＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝32°，
∵EF∥DC，
∴∠ACD+∠2＝180°，
∴∠2＝148°．
59．综合与实践
问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P．
探索发现：
（1）如图1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD，∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是 ∠BPD＝∠ABP+∠CDP ．
（2）如图2，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出解答过程．
拓展延伸：
（3）如图3，在（2）的条件下，在AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ=13∠AMP，∠CNQ=13∠CNP，求∠P与∠Q之间的数量关系．
【答案】（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP；
（2）∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°，理由见解析过程；
（3）13∠P+∠Q=120°，理由见解析过程．
【解答】解：（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP，
过点P作PQ平行于AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPD＝∠CDP，∠QPB＝∠ABP，
∴∠QPD+∠QPB＝∠CDP+∠ABP，
∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．
故答案为：∠BPD＝∠ABP+∠CDP．
（2）过点P作PH平行于AB，
∵PH∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠HPN+∠CNP＝180°，∠AMP+∠HPM＝180°，
∴∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM＝360°，
∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°．
（3）由（1）知，
∠Q＝∠AMQ+∠CNQ．
由（2）知，
∠P+∠AMP+∠CNP＝360°．
∵∠AMQ=13∠AMP，∠CNQ=13∠CNP，
∴∠AMQ+∠CNQ=13(∠AMP+∠CNP)=13(360°−∠P)=120°−13∠P，
∴∠Q＝120°−13∠P，
即13∠P+∠Q=120°．
所以∠P与∠Q之间的数量关系是13∠P+∠Q=120°．
60．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图2，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又∵∠AEF＝∠GHD（ 已知 ），
∴∠EPD＝ ∠GHD （等量代换）．
∴EP∥GH（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠EFN+ ∠FNG ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG∥FN （已知），
∴∠FNG+∠G＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠EFN＝∠G（ 同角的补角相等 ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图2，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）．
∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG∥FN（已知），
∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；∠GHD；同位角相等，两直线平行；∠FNG；MG∥FN；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．题型1 平行线的性质
题型2 平行线的判定与性质