初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）全等三角形优秀导学案

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题型1．全等三角形的性质（共30小题）
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
1．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（ ）
A．2B．3C．5D．7
2．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为（ ）
A．52°B．58°C．60°D．70°
3．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．50°B．44°C．34°D．30°
4．下列判断中，不正确的是（ ）
A．全等三角形的面积一定相等
B．全等三角形的周长一定相等
C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关
D．两个等边三角形一定全等
5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M，△ABC≌△DEF，下列结论正确的是（ ）
A．∠BED＝∠FCAB．AB＝DFC．EM＝ECD．BE＝CF
6．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
7．如图，△ABC≌△AEF，对于下列结论其中不正确的是（ ）
A．AC＝AFB．EF＝BCC．∠AFE＝∠EFBD．∠EAB＝∠FAC
8．如图，△ABC≌△BAD，A，C的对应点分别是B，D，若AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝（ ）
A．6B．9C．8D．无法确定
9．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（ ）
A．6B．5C．4D．3
11．如图，△ABC≌△CED，点A在CE边上，∠CAB+∠E＝90°，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．DE＝BCB．∠D＝90°
C．∠BFD+∠B＝∠ACDD．EF＝FB
12．如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为（ ）
A．33°B．57°C．123°D．147°
13．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．AC与DF是对应边B．AC与DE是对应边
C．AC与EF是对应边D．不能确定AC的对应边
14．在两全等三个角形中，①周长相等；②面积相等；③高相等；④中线相等，其中正确的结论共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是 ．
16．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ ．
17．如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD＝2，BD＝3，则FD的值为 ．
18．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
19．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 ．
20．如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝78°，∠C＝22°，则∠OAD的度数是 ．
21．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝35°，则∠F＝ ．
22．如图，△ABC≌△CDA，下列结论：
①AB与AD是对应边；
②AC与CA是对应边；
③∠BAC与∠DAC是对应角；
④∠CAB与∠ACD是对应角．
其中正确的是 （填序号）．
23．D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 ．
24．如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3．阴影部分的面积为 ．
25．已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，求x的值．
26．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
（1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 （填选项）；
A．如图1，过点C作EF＝AB
B．如图2，作△ABD≌△BAC
C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC
D．如图4，过点C作CD∥BA
（2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明．
27．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
（1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ ．
（2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值．
28．如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED．
（1）求证：BD＝EC；
（2）判断线段AD与FC的关系并证明．
29．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上．
（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；
（2）若AD＝9，BC＝5，则AB的长为 ．
30．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A点以a厘米/秒运动，设运动的时间为t秒，
（1）求CP的长；
（2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值．
题型2.全等三角形的判定（共30小题）
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
31．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于F，则图中的全等三角形的对数是（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
32．如图，在△ABC和△DEC中，已知CB＝CE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．AC＝DC，AB＝DEB．∠ACD＝∠BCE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，∠B＝∠ED．AC＝DC，∠A＝∠D
33．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABD＝∠BACB．∠C＝∠DC．AD＝BCD．AC＝BD
34．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠DB．BC＝DEC．∠1＝∠2D．AB＝AD
35．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
36．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（ ）
A．△ABC≌△ADEB．△ABF≌△ADGC．FC＝GED．AG＝GC
37．如图，已知AD＝AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AB＝ACB．∠ADC＝∠AEBC．∠B＝∠CD．BE＝CD
38．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（ ）
A．BE＝BCB．AE＝DCC．∠ABD＝∠EBCD．∠E＝∠C
39．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．B．
C．D．
40．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
41．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A．AB＝DCB．OB＝OCC．∠A＝∠DD．∠AOB＝∠DOC
42．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
43．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是（ ）
A．AC＝BDB．BC＝ADC．∠CAD＝∠ABDD．∠CBA＝∠DAB
44．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60°B．AB＝1，BC＝2，AC＝3
C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2D．∠C＝90°，AB＝3
45．如图，在△ABC和△DEC和中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC和≌△DEC和，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠ACD＝∠BCE
46．如图，△ADC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，BD、AE交于点F，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠BFE＝60°．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
47．下列各组中的两个三角形一定全等的是（ ）
A．以100度为内角，10厘米为一边长的两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．有一边相等的两个等腰直角三角形
D．以4、9为边的两个等腰三角形
48．下列叙述错误的是（ ）
A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
B．面积相等的两个三角形不一定全等
C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分
D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等
49．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
50．如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ）
A．带①②去B．带②③去C．带①④去D．带①③去
51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为 s时，△PEC与△QFC全等．
52．如图．AB，CD相交于点E，DE＝CE，请你补充一个条件 ，使△ADE≌△BCE．
53．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
54．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝15cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0），则当以B、E、D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝ s．
55．下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 ．
①AB＝3，BC＝7，CA＝11，
②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3；
③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11；
④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9．
56．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
57．如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
58．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
59．如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD．
60．如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值．
题型1 全等三角形的性质
题型2 全等三角形的判定