山西忻州部分学校2025-2026学年高一上学期2月质量检测数学试题（人教B版）（试卷+解析）

这是一份山西忻州部分学校2025-2026学年高一上学期2月质量检测数学试题（人教B版）（试卷+解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，则中的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（ ）
A. 42B. 45C. 49D. 50
4. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A. B. C. D. 4
5. 如图，在中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A B.
C. D.
7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，则的最大值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ）
A. 极差7B. 40%分位数为4
C. 平均数为4D. 方差为5
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 偶函数
B. 上单调递增
C. 的值域为
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，若，则实数___________．
13. 从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为___________．
14. 已知正实数满足，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16. 甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立．
（1）求打完两场比赛结束的概率；
（2）求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率．
17. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足,，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．
（1）求的表达式；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
18. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；
（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差．
19. 定义一种新的运算“”：，都有．
（1）对于任意实数，试判断与大小关系；
（2）若关于的不等式的解集中恰有5个整数，求实数的取值范围；
（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
高一数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先修改量词，再否定原来结论可求解.
【详解】命题的否定为：，.
故选.
2. 已知集合，则中的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】分别用列举法表示集合，再求取交集，即可求解；
【详解】集合，
，
则，其中的元素个数为个；
故选：C.
3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（ ）
A 42B. 45C. 49D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】设样本容量为，由抽取的高一年级人数为14人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量.
【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，
现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为.
∵抽取的高一年级人数为14人，
∴.
故选：C.
4. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性确定参数数值，求得解析式，再求函数值即可；
【详解】因为为幂函数，
则，
解得或，
又因为在上单调递减，
所以，则；
所以，
故，
故选：B.
5. 如图，在中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】在中，，
，
又，，，
，
，.
故选：D.
6. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用对数函数的单调性得出的大小关系.
【详解】因为，，，
则
故选：B.
7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，再判断该函数的奇偶性和单调性，最后列不等式求解即可.
【详解】令，该函数的定义域，
又，为奇函数，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性在上单调递增，
在上单调递增，
不等式可化为
，
则，解得.
故关于的不等式的解集为.
故选：A.
8. 已知，则的最大值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，将原方程转化为关于一元二次方程，利用判别式和韦达定理分析正根存在条件求解.
【详解】令，则，所以，
所以由可得，令，则方程即，
则该方程必有正根，所以，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ）
A. 极差为7B. 40%分位数为4
C. 平均数为4D. 方差为5
【答案】AC
【解析】
【分析】对该数据进行排序，分别求出极差，百分位数，平均数，和方差，再与选项对比进行判断；
【详解】某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，
将这组数据从小到大依次排列为：0，2，3，5，5，6，7；
对于A选项：极差为，故选项A正确；
对于B选项：由于，故分位数为从小到大排列的第三位“”，故选项B错误；
对于C选项：平均数为，故选项C正确；
对于D选项：方差为，故选项D错误；
故选：AC.
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】已知递推关系，分区间推导函数表达式，再通过解方程找到的对应点，最后结合图象确定的取值范围即可得解.
详解】根据已知条件，，，
当时，有，
当时，有.
令，解得或，
结合图象，的最大值为.
故选：ABC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 在上单调递增
C. 的值域为
D. 若，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函数恒等式可判断A，利用复合函数单调性可判断B，利用偶函数和单调性可判断C，利用偶函数和基本不等式可判断D.
【详解】由函数的定义域为，
且，
所以是偶函数，故A正确；
由，
令，则上式可化为，
当时，，则在上是单调递增，
此时，则在上也是单调递增，
所以函数在上是单调递增，故B正确；
因为是偶函数且在上是单调递增，所以的最小值为，
即的值域为,故C错误；
因为是偶函数且在上是单调递增，，，
所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，若，则实数___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“若，则”，解出的值；
【详解】，，
则实数，
解得，
故答案为：.
13. 从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先区分质数与合数个数，再分别计算总取法数和恰有1个质数的取法数，最后用古典概型公式求概率.
【详解】从中，质数为共2个；合数为，共4个.
1.总基本事件数：从6个数中任取2个，；
2.恰有1个质数的事件数：选1个质数+1个合数，；
3.所求概率：.
故答案：.
14. 已知正实数满足，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】对原式进行化简代入，得到关于的函数，再利用基本不等式，求出的范围，即可求出代数式的最小值；
【详解】，可得，
则.
又因为，即，
所以，
故，
即（当且仅当，即时取等），
所以，
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用集合间的基本关系计算即可；
(2)利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可.
【小问1详解】
因为恒成立，
所以可得，
，
由可知，区间与有公共部分，
恒成立，则需满足；
解得.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
∵是的必要不充分条件，
∴是的真子集.
所以，且满足，解得，
∴实数的取值范围为.
16. 甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立．
（1）求打完两场比赛结束的概率；
（2）求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解；
（2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解.
【小问1详解】
用表示“第场比赛甲获胜”，
则用表示“打完两场比赛结束”，
则.
【小问2详解】
若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则，
所以
.
17. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足,，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．
（1）求的表达式；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）甲产品投入万元，乙产品投入万元；最大利润是万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；
（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可.
【小问1详解】
甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元，
当时，，
当时，，
则；
【小问2详解】
当时，令，
则，
则；
当时，
，
等号成立时，，
因为，
所以当甲产品的投入为万元，乙产品的投入为万元时，总利润最大，最大为万元.
18. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；
（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差．
【答案】（1），平均数为
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为，求图中的值，用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均数；
（2）求出第百分位数可得结果；
（3）利用分层抽样的平均数公式和方差公式可求得结果.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
平均数为.
【小问2详解】
设“获得该荣誉证书的最低分数”为，
由于分数介于的频率为、分数介于的频率为，
故获得该荣誉证书的最低分数介于之间，
则有，解得.
【小问3详解】
成绩位于的学生人数为，
成绩位于的学生人数为，
因为落在中的样本数据的平均数是，方差是，
落在中的样本数据的平均数是，方差是，
所以两组数据的总平均数，
总方差为.
19. 定义一种新的运算“”：，都有．
（1）对于任意实数，试判断与的大小关系；
（2）若关于的不等式的解集中恰有5个整数，求实数的取值范围；
（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给定义及对数的运算性质计算可得；
（2）先化简得出，再根据及计算求解即可.
（3）分别求出和的解析式， 求在上的值域， 求在上的值域，根据值域间的关系列不等式，求解即可.
【小问1详解】
因为，都有，
所以，
，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以不等式可化为，
即，
要满足题意，则必有，解得或，
令，则其对称轴为直线，
由于，，则，
所以函数的一个零点在区间，
要使关于的不等式的解集中恰有5个整数，
则这个整数解是，
所以的另一个零点在区间 ,
从而，即，
解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为，
所以
，
设，其中，令，则，则，
所以，则，
所以函数的值域为，
由
，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
故函数的值域为，
根据题意可得，，所以 ，
即，所以且，
解得且，
所以实数的取值范围是.