2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高一上学期第二次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高一上学期第二次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求解集合，再求它们的并集.

【详解】，则，又定义域是，则，.

故选：B

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，解不等式组可求出答案

【详解】由题意可得，解得.

故选：C

3．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】若，则，而，所以由不能得到，

若，则，而，所以由不能得到，

所以是的既不充分也不必要条件，

故选：D

4．已知函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解参数的取值范围即可.

【详解】根据题意可列不等式如下，

解得 ，选项D正确

故选：D.

5．函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.

【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；

由，

可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.

故选：A

6．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域.

【详解】设，则，故，

故的值域为，

故选：D.

7．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（    ）

A．； B．；

C．； D．．

【答案】D

【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可

【详解】因为，

所以，故或．

若，则（舍去）；

若，则，

又，

所以，

因此（等号当且仅当，即时成立），

即的取值范围是．

故选：D．

8．已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的解析式，作出的图象，将方程有4个不同的实数根，转化为方程必有一正一负两个根，即可得到，，再根据函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，函数图象如下所示：

要使关于的方程有4个不同的实数根，即有4个不同的实数根，

令，，，

则或或，

因为方程必有一正一负两个根，所以，

且，，所以，

所以，

函数在上单调递增，当时，，

所以，即

故选：B

二、多选题

9．关于函数（且）的性质表述正确的是（    ）

A．恒过定点 B．增函数 C．值域为 D．奇函数

【答案】AC

【分析】化简函数解析式并判断函数图象性质.

【详解】函数（且），

恒过点成立，A选项正确；但函数无奇偶性，D.选项错误；

当，即时函数单调递增，

当，即时函数单调递减，B选项错误；

又，故，D选项正确；

故选：AD.

10．已知函数，若，，，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用中间值法比较、、的大小关系，再由函数的单调性可得出、、三个数的大小关系.

【详解】，，，所以，，

而函数单调递增，故．

故选：AB.

11．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．函数的图象恒在x轴的上方

B．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是

C．与函数的图象关于直线对称的图象对应的函数解析式为（）

D．已知，，则

【答案】AC

【分析】A.由对数型复合函数的值域求解判断； B.由求解判断；C.由与（）互为反函数判断；D.利用换底公式和对数运算求解判断.

【详解】A.，∴，

∴函数的图象恒在x轴的上方，故正确；

B.若的值域为R，则可以取遍所有的正数，

∴，即或，故错误；

C.与（）互为反函数，它们的图象关于直线对称，故正确；

D.由换底公式，得，，

∴，即，

∴，即，故错误.

故选：AC

12．已知为定义在R上的函数，对任意的R，都有，并且当时，有，则（    ）

A．

B．若，则

C．在上为增函数

D．若，且，则实数的取值范围为

【答案】ACD

【解析】取即可求得的值，令，易得，从而可判断其奇偶性；设，且，作差后判断其符号即可证得为上的增函数；依题意可得，原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：取得，则，即；故A正确；

取代入，得，又，于是，

为奇函数；

因为，所以，故B错误；

设，且，

则，

由知，，所以

，

函数为上的增函数．故C正确；

因为，所以，

所以等价于，

即

所以

等价于，即，解得或，故D正确；

故选：ACD

【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，函数奇偶性的判断以及函数不等式的解法，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．

三、填空题

13．计算__________．

【答案】5

【分析】利用指数和对数的运算求解.

【详解】解：，

，

，

，

故答案为：5

14．已知函数 若，则的值__________________.

【答案】或

【分析】分，两种情况，代入函数解析式求解即可

【详解】由题意，

若，则，即，（舍负）

若，则，即（舍正）

综上：的值为或

故答案为：或

15．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】首先判断出在区间上的单调性，结合复合函数的单调性同增异减来求得的取值范围.

【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数，

都满足不等式，所以在区间上单调递增.

在上递减；

的开口向上，对称轴为，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．已知是定义在上的奇函数，且时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】通过奇偶性和单调得到与的不等式恒成立问题，进而求出的取值范围.

【详解】由是定义在上的奇函数，且时，，设，则，，在上单调递减，且，所以对于任意的恒成立，所以，即对于任意的恒成立，.

故答案为：.

四、解答题

17．函数的定义域为A，不等式的解集为B.

（1）求；

（2）已知集合，且，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出定义域得出，解出不等式得出，再根据并集定义即可求出；

（2）根据得，讨论和两种情况可求.

【详解】（1）要使函数有意义，

需满足，解得，∴函数的定义域，

由，得，解得，即

所以.

（2），，

①当时，，满足；

②当时，，

由得解得.

综上，

∴实数m的取值范围为.

18．已知幂函数在上单调递增，函数.

（1）求的值；

（2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）.

【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.

（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.

【详解】（1）依题意得：，或，

当时，在上单调递减，

与题设矛盾，舍去，

.

（2）由（1）得：，

当，时，，，即，，

当，时，，，即，，

若命题是成立的必要条件，则，

则，即，

解得：.

【点睛】本题考查了函数性质与逻辑综合，考查了学生综合分析，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.

19．已知函数，

（1）求在上的最大值；

（2）当时，求在闭区间上的最小值．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据二次函数的性质分为和两种情形，可得最大值；

（2）分为，和三种情形，根据函数的单调性即可得最值.

【详解】（1）因为函数的图象开口向上，其对称轴为，

所以区间的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，

当，即时，的最大值为；

当，即时，的最大值为．

（2）当时，，其图象的对称轴为，

①当时，在上是增函数，；

②当，即时，在上是减函数，

；

③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以．

【点睛】本题主要考查了含有参数的二次函数的最值问题，考查的分类讨论思想，属于中档题.

20．已知函数的定义域是.

(1)求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数的定义域得恒成立，再根据二次函数的性质可求得a的范围．

（2）根据指数函数的单调性可求得不等式的解集.

【详解】（1）解： 函数的定义域是，恒成立，

则，解得实数的取值范围为．

（2）解：，即，

，即，解得或，

故不等式的解集为.

21．已知．

(1)判断函数的奇偶性和单调性（不必证明）；

(2)若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数

(2)

【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断，由指数函数的单调性及单调性的性质判断函数的单调性；

（2）依题意可得，再由函数的单调性可得对一切恒成立，令，设根据二次函数的性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；

【详解】（1）解：因为定义域为，所以，所以为奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增；

即函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数．

（2）解：因为是R上的奇函数且为严格增函数，所以由，可得，即对一切恒成立．令，，设，所以，即，解得．

22．某租赁公司拥有汽车80辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3500元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【答案】（1）70辆；（2）当每辆车的月租金定为3550元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为234050元.

【解析】（1）求出月租金定为3500元时未租出的车辆数，然后可得结论；

（2）用表示出租出的车辆数、以及未租出的车辆数，再结合各自的维护费得出收益，然后由二次函数性质得最大值．

【详解】（1）解：当每辆车的月租金定为3500元时，未租出的车辆数为，

这时能租出70辆车.

（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为

，

整理得，

所以，当时，最大，最大值为234050.

即当每辆车的月租金定为3550元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为234050元.

【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的应用，解题关键是列出二次函数的解析式，然后由二次函数的性质求得最大值．