山西省忻州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷+解析）

这是一份山西省忻州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷+解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0， 不等式的解集为， 已知，则的值是， 函数的图象大致是， 若，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上作答无效.
4，本卷命题范围：高一数学必修第一册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
5. 已知，则的值是
A. B. C. D.
6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ）

A. 960B. 480C. 320D. 240
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.
C. 函数是奇函数
D. 函数在上的值域为
11. 下列结论正确的有（ ）
A. 是奇函数．
B. 上单调递增
C. 若，则
D. 对数函数一定是单调函数，且恒过点
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 计算：______.
14. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角满足．
（1）求、的值；
（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．
16. 已知幂函数的图像过点，．
（1）求的解析式；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围．
17. 某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入.
（1）求蔬菜大棚带来利润（万元）关于大棚个数的函数关系式；
（2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
19. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
（3）任意，求实数的所有整数解.
2025—2026学年高一年级第一学期期末测试试题（卷）
数学（科目）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上作答无效.
4，本卷命题范围：高一数学必修第一册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因，所以，
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
故选：C.
3. 函数零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在原理，结合函数的单调性逐一判断即可
【详解】易知函数的定义域为全体正实数集，
由函数的单调性的性质可以判断该函数是正实数集上的增函数，
，
显然，因此函数的零点所在的区间是，
故选：C
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】由，得，即，
则，解得，
则不等式的解集为.
故选：C
5. 已知，则的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ．故选B．
6. 若关于x不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案.
【详解】因为不等式对恒成立，所以，解得．
故选：C．
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案．
【详解】∵的定义域为，关于原点对称，
且，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B；
又，故排除选项D；
又，故排除选项C；
故选：A．
8. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ）

A. 960B. 480C. 320D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质及作差法比较大小即可判断.
【详解】因为，
所以，，，，故AB正确，C错误，
又易知，即，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.
C. 函数是奇函数
D. 函数在上的值域为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象可得，根据周期可求出，结合图象过点求出，即可判断A，B；
根据三角函数的奇偶性即可判断C；根据余弦函数的性质即可判断D.
【详解】由图可知，故A正确；
，又，
所以，所以，故B正确；
则，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以，
对于C，，为非奇非偶函数，故C不正确；
对于D，因为，所以，
所以，
所以函数在上的值域为，故D错误
故选：AB.
11. 下列结论正确的有（ ）
A. 是奇函数．
B. 在上单调递增
C. 若，则
D. 对数函数一定是单调函数，且恒过点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性定义可判断A;利用函数的单调性定义可判断B;根据不等式的性质结合反例判断C;根据对数函数的性质判断D．
【详解】对于，满足，
故是奇函数，故A正确；
对于，在上单调递增，故B正确；
对于，若，当时,则，故C错误；
对于，当时，对数函数且在定义域上是减函数，
当时，对数函数且在定义域上是增函数，
又，即对数函数一定是单调函数，且恒过点，故D正确，
故选：．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题设，结合平方关系、二倍角公式求解即可.
【详解】由，
则，
即.
故答案为：.
13. 计算：______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指数和对数运算公式化简求值.
【详解】由题意得
.
故答案为：.
14. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】令，得，所以，
所以，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角满足．
（1）求、的值；
（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可求得、的值；
（2）求出的值，根据已知条件可得出，结合诱导公式可得出的值，再利用诱导公式以及弦化切可得出所求代数式的值.
【小问1详解】
因为为锐角，所以，，
由已知条件可得，解得.
【小问2详解】
因为角的终边与角的终边关于轴对称，则，
由（1）可知，
所以，
所以.
16. 已知幂函数的图像过点，．
（1）求的解析式；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出解析式；
（2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
设，将点代入，得，解得，
.
小问2详解】
由（1），，则，即，
又在上单调递减，
，即，
因为是的必要条件，所以，
，解得.
所以实数的取值范围为.
17. 某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元的收入.
（1）求蔬菜大棚带来的利润（万元）关于大棚个数的函数关系式；
（2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大?并求最大利润.
【答案】（1）
（2）12个，120万元
【解析】
【分析】（1）利润等于销售额减去投入成本及固定成本，分段计算整理即可；
（2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.
【小问1详解】
根据题意得
当时，，
当时，，
所以
【小问2详解】
当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为80，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为120，
所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；
（2）根据x的取值范围，求得的范围，结合正弦函数性质，即可求得结果.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为.
令，得.
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以，
则，
所以的值域为.
19. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
（3）任意，求实数的所有整数解.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可；
（2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可；
（3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可.
【小问1详解】
函数是奇函数，证明如下：
，所以，解得函数定义域,
因为任意，都有，
又，所以函数是奇函数.
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
法一：任取满足，
因为
＝，
因为，，且单调递增，
所以，，
依据同向不等式的可加性，
所以，
即，所以在上单调递减．
法二：任取满足，因为，
所以，
因为，，
所以，即，
所以，即，所以在上单调递减．
【小问3详解】
由第（2）问知在上单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以，即得，解得，
因为，所以或．