山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了 设等差数列满足，则， 甲，乙，丙3名学生约定等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 设，，，，且，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案.
【详解】因为，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故选：D.
3. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ）
A. 120B. 15C. 25D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理可得答案.
【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.
故选：B.
4. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
5. 设等差数列满足，则（ ）
A. 80B. 100C. 120D. 160
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的下标性质可得，再由等差数列的求和公式，代入计算，即可求解.
【详解】因数列为等差数列，且，则，
则.
故选：D
6. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值.
【详解】如图所示，作于，于.

在中，，，
在中，，
，
同理可得，，，
因为，
所以
，
又因，
所以.
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A. 13B. 11C. 9D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（ ）
A. 150B. 243C. 183D. 393
【答案】B
【解析】
【分析】根据甲，乙，丙3名学生观看电影分1人观看5部电影，2人观看5部电影，3人观看5部电影，利用分类加法计数即可解答.
【详解】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况；
第二类：2个人观看5部电影有种情况；
第三类：3个人观看5部电影有种情况；
所以共有：种情况.
故选：B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 展开式中各项系数和为
C. 展开式中常数项为D. 展开式中各二项式系数和为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二项式定理以及二项展开式系数的性质，运用赋值法和二项式展开项公式求解.
【详解】因为第5项和第6项是相邻的两项， ，A正确；
令 ，则有 ，B正确；
， ，常数项 ，C正确；
二项式系数之和 ，错误；
故选：ABC.
10. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为1
B. 平面EFG
C. 过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
D. 平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项：用顶点转化法转换成G为顶点，直接计算体积即可判断；
B选项：建系，用空间向量计算证明垂直即可判断；
C选项：补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；
D选项：用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，
则，
则平面，B正确；
对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；
对于D，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，设两个平面夹角为，
，故D错误．
故选：ABC．
11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ）
A.
B. 平面上点的最小值为
C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D. 过点作，垂足为H，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项.
【详解】解：对于A项，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，
，
，即，
又因为，所以上式可化简整理得，
所以，
所以直线的方程为，即，
所以，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由双曲线定义得，且，
则，
所以的最小值为.故B项正确；
对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，
因为且，所以，
若，则，
所以直线直线；
同理可知当也可判断直线直线，
所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误；
对于D项，如图，
为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙同一侧，则不同的站法共有_______种．
【答案】
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法，
再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，
最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，
共有种不同的站法，
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种．
故答案为：40
13. 已知数列满足，则______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】通过递推公式，得出为周期数列，且周期为，可得，即得答案.
【详解】解：因为，
所以，，，
所以为周期数列，且周期为，
所以.
故答案为：
14. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目.
（1）学生甲不在最左边；
（2）3名男生必须排在一起.
【答案】（1）4320
（2）720
【解析】
【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置．
（2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列
【小问1详解】
先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法，
则符合条件的排法共有种.
【小问2详解】
将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法，
则符合条件的排法共有种.
16. 已知圆的方程为.
（1）求的取值范围；
（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的一般方程满足即可求解；
（2）利用弦长公式求得，进而得到的值.
【小问1详解】
方程为圆的方程，
即，
解得.
【小问2详解】
由（1）可知圆，则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，则，
解得.
17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
（1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．
【答案】（1）公司：（元）；公司：（元）
（2）从公司得到的报酬较多
【解析】
【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资；
（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.
【小问1详解】
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元,
则他第年的月工资是：（元）；
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增．
则他第年的月工资（元）．
【小问2详解】
若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
18. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出的坐标，根据坐标即可证明；
（2）求出平面与平面的法向量，然后利用夹角公式列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
，
又不在同一条直线上，.
【小问2详解】
由已知得，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，
设平面的法向量，
则，令，得，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
19. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点．
（1）求C的方程；
（2）设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可.
（2）（ⅰ）设，，，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为．
联立结合韦达定理得到，．
同理，．再结合向量运算即可解决.
（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.
【小问1详解】
设C的方程为，其中．
由C过A，B两点，故，，解得，．
因此C的方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2．

因为，所以直线BM的斜率为，方程为．
由，得，
所以，
．
因此．
同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为．
由，得，
所以，
，
因此
．
则，即存在，满足．
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN方程为，
所以点P到直线MN的距离．
而，
所以的面积为定值．
【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．