【数学】山西省部分学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测试题（B卷）（解析版）

这是一份【数学】山西省部分学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测试题（B卷）（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】因为，易知，不满足题意，所以，所以，，
所以. 故选：B.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由直线方程可得直线斜率，故直线的倾斜角为.故选：D.
3. 如图，在四面体中，，且，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
，
∴. 故选：C.
4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为点在圆外，则，解得.
故选：B.
5. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ）

A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】A
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

则A1,0,0，，，，，，，
，，，，
所以，，，，
，，，
，，，
所以，，
，所以集合，即集合共个元素.
故选：A
6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】D
【解析】将直线l的方程变形为，由，
得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D.
7. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】由题意得，点在直线上，点在直线上，
所以的最小值为两平行线间距离的平方，即.
故选：D.
8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，
由基本不等式，可得，
所以，解得，
当且仅当时成立，当且仅当时，成立，
所以椭圆长半轴长为，短半轴长为，
所以椭圆离心率为. 故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在轴、轴上的截距分别为，的直线均可用方程表示
B. 方程（，为常数）不能表示垂直于轴的直线
C. 经过点的直线均可用方程（，不同时为0）表示
D. 经过两个不同的点x1,y1，x2,y2的直线均可用方程表示
【答案】BC
【解析】对于A，当时，不可以用方程表示，故A错误；
对于B，无论实数，取何值，方程均不可以表示垂直于轴的直线，故B正确；
对于C，当直线垂直于轴，则直线方程为时，此时存在，；
当直线垂直于y轴，则直线方程为时，此时存在，；
当直线不垂直轴时，此时存在，，
故过点均可表示为，故C正确；
对于D，过，的直线方程为，故D错误.
故选：BC.
10. 在正方体中，，，则（ ）
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
【答案】BCD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、、、
、，
因为，
对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错；
对于B选项，若，即点，此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对；
对于C选项，若，即点，其中，
，，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
，则点到平面的距离为，
因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对；
对于D选项，若，则，其中，
易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，
则，当时，取最小值，此时取最大值，且，则，
因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对.
故选：BCD.
11. 已知圆，为圆上一点，点，，则（ ）
A. 当最小时，
B. 当最大时，
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由，知且半径为，如下图示，
当取得最大值或最小值时，直线AP与圆相切，
利用切线的性质，两种情况的切线长均为，A，B正确；
设，则点在直线上，
又在圆上，故直线与圆有公共点，
所以，即，解得，故C错误；
表示点与点距离的平方，
点与点的最小距离为，
故的最小值为，故D正确. 故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的焦距为2，则______．
【答案】5或7.
【解析】当椭圆焦点在轴时，，
由焦距为得，，故，解得.
当椭圆焦点在轴时，，
由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7.
13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，
所以只需研究与圆只有一个交点即可，
当与圆相切时，则，
当与圆相交时（只有一个交点），则，
综上可得的取值范围为. 故答案：
14. 如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为______.
【答案】
【解析】依题意，，，则，，，设的大小为，则与互补，而，
则，，
于是，解得，
因此，又，所以. 故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求两焦点分别为，，且过点的椭圆的标准方程；
（2）求与x轴相切，圆心在直线上，且截直线所得弦长为的圆的方程.
解：（1）设椭圆的方程为，
则，
解得，而椭圆的半焦距，则，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）依题意，由圆心在直线上，设所求圆的圆心为，
由圆与x轴相切，得所求圆的半径，圆心到直线的距离
由截直线所得弦长为，得，解得，
因此所求圆圆心为或，半径为，
所以所求圆的方程为或.
16. 已知圆和点.
（1）过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程.
解：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（2）因为，则，
所以以点为圆心，为半径为圆的方程为，
则线段可视为圆与圆的相交弦，
将上述两圆的方程作差可得.
.
17. 如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，
（1）求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值；
（2）设AE与PO交于点，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值.
解：（1）
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
由题意得，，，，，，
∴.
设平面的法向量为，
∴，可取，
设平面的法向量为，∴，可取.
设平面ADE与平面ACE的夹角为，则.
（2）
如图，过点作于点，则为中点，且，
∴，由得，，∴，即，
∴.
设直线CM与平面ADE所成角为，.
18. 已知点A，B是椭圆的上、下顶点，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意得，.设，由得，，整理得，点的轨迹方程为.
（2）
存在，理由如下：
设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，
则，.
由得，，∴，
由点在动直线上得，，
整理得，同理得，
∴是方程的两个根，
∴，则为定值.
令，则，代入动直线方程得，，
令，得，代入动直线方程得，，即，
点代入（1）中轨迹方程得，，解得，
∴点的坐标为或.
19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：在中，因为，，，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
解：（2）由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离.
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面DHP一个法向量，因为，
所以，即，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，因为，，
所以，即，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即.