精品解析：广东省深圳市深圳高级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

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1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第一部分 选择题
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数，掌握无理数是无限不循环小数是解题关键．
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解： A． 是循环小数，属于有理数，不符合题意；
B．是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
C．是分数，属于有理数，不符合题意；
D．是整数，属于有理数，不符合题意．
故选B．
2. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A：无法合并， 故A错误；
B：，故B错误．
C：，故 C错误．
D：，故D正确．
故选：D．
3. 如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若表示嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，则表示足部点C的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
根据点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点C的坐标．
【详解】解：嘴部点A的坐标为，表示尾部点B的坐标为，建立直角坐标系如下：
则点C的坐标为：．
故选：C．
4. 下列四组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是（ ）
A. 2，1，B. 6，8，C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．若三角形较小的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形．直接利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、，故此三边可为直角三角形的三边；
B、，故此三边可为直角三角形的三边；
C、，故此三边不可为直角三角形的三边；
D、，故此三边可为直角三角形的三边．
故选：C．
5. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 全等三角形的面积相等
B. 位于第三象限的点，横纵坐标都为负数
C. 两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 一组数据的众数可以不唯一
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质，象限内坐标特点，平行线的性质，众数定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．全等三角形的面积相等，此命题为真命题，不合题意；
B．位于第三象限点，横纵坐标都为负数，此命题为真命题，不合题意；
C．只有当两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，原命题缺少两直线平行的条件，故原命题为假命题，符合题意；
D．一组数据的众数可以不唯一，此命题为真命题，不合题意．
故选：C．
6. 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则一次函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数值随的增大而减小，，，从而可得一次函数的一次项系数，常数项，所以一次函数的图像经过一、三、四象限，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限，
∴函数值随的增大而减小，，，
∴一次函数的一次项系数，常数项，
∴一次函数的图像经过一、三、四象限，
选项符合题意，
故选：．
7. 兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：∵“小兰去市场买了36米布”
∴
∵“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”
∴福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍
∴
故：
故选：C
【点睛】本题考查配套问题．注意1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物＝福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍．
8. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距，汽车出发前油箱中有油L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A. 当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式为B. 途中加油L
C. 汽车加油后还可行驶4hD. 汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据，可以写出当时，y(L)与t(h)之间的函数表达式，从而可以判断A；根据函数图象中的数据，可以计算出途中加油的升数，从而可以判断B；根据函数图象中的数据，可以计算出汽车加油后还可行驶的时间，从而可以判断C；根据题意和函数图象中的数据，可以计算出汽车到达乙地时油箱中的剩余油量，从而可以判断D．
【详解】解：由图象可得，当时，y(L)与t(h)之间的函数关系为一次函数，设，将点和代入可得，解得所以y(L)与t(h)之间的函数关系式为，故选项A不符合题意；
途中加油(L)，故选项B不符合题意；
汽车加油后还可行驶：（小时），故选项C符合题意；
汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为：(L)，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
二．填空题：（每小题3分，共计15分）
9. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为．
10. 小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作分，计算机操作分，创意设计分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为______分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，掌握相关知识是解决问题关键．根据加权平均数的定义，将各科成绩乘以对应的权重比例后求和
【详解】解：（分）．
故答案为．
11. 若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．方程组的解即为两个一次函数图像的交点坐标，将交点代入求出m的值，再得到方程组的解．
【详解】解：∵点在函数上，代入得：
∴，
即点．
方程组可化为，
∴方程组的解即为两直线的交点坐标．
故答案为．
12. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：如图，
由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：；
设点运动到时，，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点作于点，构造全等三角形，，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到边的关系，再结合勾股定理求解的长度．
【详解】解：如图，过点作于点．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
，
∴，
∴
在中，由勾股定理得
．
三．解答题：（共计61分．14题9分，15题7分，16题7分，17题8分，18题8分，19题10分，20题12分）
14. （1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算法则和消元法是解题的关键．
（1）先计算二次根式的除法、乘方和零指数幂，然后计算加减即可；
（2）利用消元法解方程即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：
由②得
将③代入①，得，
解得，
将代入③，得，
所以原方程组的解为．
15. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ， ；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选 年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
【答案】（1）84，72，83，30
（2）八 （3）该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图与频数分布表、中位数、众数、样本估计总体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．
（1）利用扇形统计图即可求出D组和C组的人数，结合B组的人数，求出A 组的人数，再利用中位数定义即可求出a和c的值，求出第一四分位数即可确定b，最后求得A组所占的百分数即可求得m的值；
（2）根据方差进行分析即可解答；
（3）利用样本估计总体进行求解即可．
【小问1详解】
解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组所占中有（人），
根据题意可得B组中有7人，故A组中有人，
∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84，
∴，
∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84，
∴，
由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故．
∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个，
∴，即．
故答案为：84，72，83，30．
【小问2详解】
解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适．
故答案为：八．
【小问3详解】
解：（人）．
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）若直线l经过点且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点的坐标 ；
（3）的面积为 ．
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）7
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据轴对称的性质，进行求解即可；
（3）利用网格求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵直线l经过点且平行于y轴，
∴直线l为，
∵，
∴点到直线l的距离为，
∴点关于直线l的对称点为；
故答案为：；
【小问3详解】
解：的面积为．
17. 如图，点D、E分别在的边上，，点F在线段上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识点，熟知平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明，再根据平行线的性质即可证明结论；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由平角的定义可得，然后求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
．
【小问2详解】
解：平分，
，
，
，，
，
．
18. 贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
（1）该超市购进两种春联各多少副？
（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
【答案】（1）该超市购进A种春联120副，B种春联180副
（2）有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联
【解析】
【分析】本题考查是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用．
（1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可．
（2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案．
【小问1详解】
解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
【小问2详解】
解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
因为均为正整数，
所以满足题意的值为
所以有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
19. 【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握新运算的法则是解题的关键：
（1）利用新定义，列式计算即可；
（2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可；
（3）证明，推出为直角三角形，三角形的面积公式求出，勾股定理求出，完全平方公式变形求出的值，再根据新运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（1），；
（2）∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
20. 【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为．
【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”．
【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线“7字形距离”为 ．
【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D．
①求；
②求点B关于直线的“7字形距离”．
【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出．
【答案】（1）①，②4；（2）①；②；（3）或；
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、一次函数的平移、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）①由题意可得，再说明；如图：过点D作，即是等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得即可解答；②由等腰三角形的性质可得竖直方向的长度；如图过点E作交于H，即是等腰直角三角形，再求得水平方向的长度为，进而完成解答；
（2）①由一次函数的平移可得；如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，进而求得、、、，再运用等面积法求得、，最后根据平行线、之间的距离求解即可；②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，然后求得、，再根据“7字形距离”的定义求解即可；
（3）由题意可得，设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，进而可得，再根据点P关于直线的“7字形距离”为，可得，解得：，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∵与是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图：过点D作，即是等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：（已舍去负值）；
∴．
故答案为：．
②∵与是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴竖直方向的长度，
如图：过点E作交于H，即是等腰直角三角形，
，
∴水平方向的长度为，
∴点E关于直线的“7字形距离”为．
故答案为4．
（2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的，即 ；
如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，
由，
令，得，则，；
令，得，则，；
由，
令，得，则，即；
令，得，则，即；
由等面积法可知，
则，，
所以；
②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为，
，
∵，，
∴，
对于，令，得，则，所以
所以．
（3）由题意可得，
设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，
对于，令，则，可得；
令，则，即，可得，
，，
，
点P关于直线的“7字形距离”为，
，
，即，
或，即或
当时，同上得；
当时，同上得．
年级
七年级
八年级
平均数
82
82
中位数
a
c
方差
A种春联
B种春联
进价（元/副）
15
12
售价（元/副）
18
14.5