精品解析：广东省深圳高级中学南校区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

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2021-2022学年广东省深圳高级中学南校区八年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，每题3分，共30分）
1. 下列各式中，运算正确的是（　　）
A. ＝－2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及化简运算法则求解即可．
【详解】解：∵＝2，
∴选项A不符合题意；
∵3－＝2，
∴选项B不符合题意；
∵2＋≠2，
∴选项C不符合题意；
∵＝2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算法则．
2. 点在轴上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
【详解】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴y＝0，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m+3＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．
3. 直线y＝﹣2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（　　）
A. y＝﹣2x+3 B. y＝﹣3x+2 C. y＝﹣x+2 D. y＝﹣2x+1
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图像的平移规则“上加下减，左加右减”，即可求解．
【详解】解：直线y＝﹣2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是y＝﹣2x+2﹣1，
即y＝﹣2x+1．
故选：D．
【点睛】此题考查了函数图像的平移规则，熟练掌握函数图像的平移规则是解题的关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，线段AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标是（　　）

A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可
【详解】解：∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB=，
∴AC=AB=，
∴OC=−1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解此题的关键是熟练运用勾股定理求出OC的长．
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接BN，由中垂线的性质可得AN=BN，设NC=x，则AN=BN=AC-NC=8-x，由勾股定理可得即由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BN，
∵M为AB的中点，MN⊥AB，
∴AN=BN，
设NC=x，则AN=BN=AC-NC=8-x，
∵∠C=90°，
∴，
∴，
解得，
∴NC=3，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，中垂线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6. 两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设定一个为一次函数y1＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的符号，进而判断是否矛盾，据此逐项分析即可．
【详解】A、如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意；
B、如果过第一、三、四象限图象是y1，由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论不矛盾，故正确，符合题意；
C、如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，掌握它的性质是解题的关键．一次函数的图象有四种情况：①当时，函数经过一、二、三象限；②当时，函数经过一、三、四象限；③当时，函数经过一、二、四象限；④当时，函数经过二、三、四象限．
7. 下列说法中，错误的是（　　）
A. 在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C. 在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D. 在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】A、B、C选项先根据三角形内角和定理计算出△ABC中最大角的度数，再依据直角三角形定义进行判断，D选项根据勾股逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，可得∠A＝180°×（1++）＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，则△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
8. 把两块同样大小的含角的直角三角尺按如图所示放置，其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，若，则的长是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作BC的垂线AF，垂足为F，由题意可得出BC=AD=4，进而得出CF=BF=2，利用勾股定理可得出DF的长，即可得出AB的长．
【详解】解：如图，过点A作BC的垂线AF，垂足为F，依题意，由得：，由的直角三角形的性质得到BC=AD=4，
∵AF⊥BC，∠ABF=∠ACF=,
∴CF=BF=2，
在Rt⊿ADF中，∠AFD=,由勾股定理得：,
∴，
故选择：D．

【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
9. 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点平移至点A2021时，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），...，A2n-1（-2+n，n），
∴A2021（1009，1011），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B，D和B，E．下列四个结论：

①BD=CE，
②BD⊥CE，
③∠ACE+∠DBC=30°，
④．
其中，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】解：如图，

① ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，


∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥CE，
故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，

∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
在Rt△BDC中，，
而BC2=2AB2，
∴BD2<2AB2，
∴
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分，请把答案写在答题卡上）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
12. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标________．
【答案】（﹣4，5）
【解析】
【分析】根据P到x轴的距离可得P的纵坐标的绝对值，根据P到y轴的距离可得P的横坐标的绝对值，根据第二象限的点的符号特点可得点P的坐标．
【详解】解：∵点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是4，
∴P的纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为4，
∵点P在第二象限内，
∴横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴P的坐标为（﹣4，5）．
故答案为：（﹣4，5）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
13. 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_____升.

【答案】20
【解析】
【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量．
【详解】解：由图象可得出：行驶，耗油（升，
行驶，耗油（升，
到达乙地时邮箱剩余油量是（升．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了一函数应用，解题的关键是根据已知图象获取正确信息．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．

【答案】2
【解析】
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴S△ABC=，
即，
∴CH=，
由折叠可知：CF=CB=4，
∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，
设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，
∴，
解得：x=2，
∴EB=2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，，那么直线BC的表达式是_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，-1），求得OA=，OB=1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=，求得F的坐标，设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组即可得到结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-1，令y=0，则x=，
∴A（，0），B（0，-1），
∴OA=，OB=1，
如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，

∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=1，EF=OA=，
∴F（，），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
，解得：，
∴直线BC的函数表达式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（7小题，共55分，其中16题5分，17题6分，18题8分，19题7分，20题9分，21题10分，22题10分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方、绝对值的性质化简计算即可．
【详解】
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的化简，熟练掌握乘方的法则，灵活化简绝对值是解题的关键．
17 先化简，再求值．[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]+2x，其中x＝﹣2，y＝．
【答案】，
【解析】
【分析】根据完全平方公式和整式四则运算，进行化简，然后代入求解即可．
【详解】解：


将，代入得
原式
故答案为，
【点睛】此题考查了完全平方公式，以及整式的四则运算，解题的关键是熟练掌握整式的有关运算．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作应．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）；
（2）写出A1，B1，C1坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（3）求△A1B1C1面积：
（4）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小，并求出P点坐标．

【答案】（1）见解析；（2），，；（3）2；（4）P点的坐标为（0，2），画图见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据（1）写出三个点的坐标即可；
（3）根据的面积等于其所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积求解即可；
（3）作A关于y轴的对称点，连接与y轴交于P，点P即为所求，先求出直线的解析式，然后根据P是直线与y轴的交点进行求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；

（2）由（1）可知，，，
故答案为：，，；
（3）由题意得：；
（3）如图所示，作A关于y轴的对称点，连接与y轴交于P，点P即为所求；
∵A（-2，4），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵P是直线与y轴的交点，
∴P点的坐标为（0，2）．
【点睛】本题主要考查了轴对称作图，求一次函数解析式，一次函数与y轴的交点，利用轴对称求最短路径，解题的关键在于能够正确得出对应点的位置．
19. 如图，一架长为5米梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC=3米．
（1）求BC的长；
（2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端A向外移动了多少米？

【答案】（1）的长为4米；（2）梯子的底端A向外移动了米
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；
（2）根据及（1）中的答案求得的长，进而利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：（1）一架长5米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米，
，
答：的长为4米；
（2）∵，，
∴，
，
∴，
答：梯子的底端A向外移动了米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
20. 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．

（1）填空：A、C两港口间的距离为______km，______h；
（2）求与的函数关系式；
（3）在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？
【答案】（1）85，1.7；（2）；；（3）0.6h
【解析】
【分析】（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时间=路程÷速度，计算即可求出a值；
（2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解．
【详解】解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60，
所以，A、C港口间的距离为：25+60=85(km)，
海巡船的速度为：25÷0.5=50(km/h)，
∴a=85÷50=1.7(h)．
故答案为：85，1.7；
（2）当0＜x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0），
∴，
解得，
所以，y=-50x+25；
当0.5＜x≤1.7时，设y与x函数关系式为：y=mx+n，
∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60），
∴，
解得，
所以，y=50x-25；
故y=；
（3）由-50x+25=15，
解得x=0.2，
由50x-25=15，
解得x=0.8．
所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.6h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，理解题目信息是解题的关键．
21. 已知直线：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：y＝﹣x+4与y轴交于点C．

（1）如图1，若＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线上是否存在点P使得＝？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
【答案】（1）A（3，0）、B（0，-4）；（2）存在，点P坐标为（，2）或（，-2）；（3）m的值为或或-3或
【解析】
【分析】（1）先确定点A（3，0），点B（0，-3m），根据＝6，列式计算得到m的值，根据图像确定m的值即可完成计算．
（2）设点P的坐标为（n，），运用分类思想和图形面积分割法计算即可．
（3）运用等腰三角形三边中腰的分类求解即可．
【详解】（1）∵y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，-3m），
∵＝6，
∴，
∴，
解得m=或m=（舍去），
∴点B（0，-4）；
（2）存在点P使得＝.理由如下：
∵点P在直线y＝﹣x+4上，
不妨设点P的坐标为（n，），
当点P位于AC上时，如图1所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），

∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=-==6，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，）；
当点P位于CA上时，如图2所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣x+4与y轴交于点C，

∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵＝=6，
∴=+==18，
∴，
解得n=，
∴点P的坐标为（n，）即点P的坐标为（，-）；
综上所述，点P的坐标为（，）或（，-）；
（3）∵点A（3，0），点B（0，-3m），点C（0，4），
∴，，，
∵△ABC是等腰三角形，
当AB=AC时即，
∴，
解得m=或m=（舍去），
当AB=BC时即，
∴，
解得m=，
当AC=BC时即，
∴，
∴4+3m=5或4+3m=-5，
解得m=或m=，
综上所述，当△ABC是等腰三角形时，m的值为或或-3或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与线段的关系，两点间的距离公式，等腰三角形的判定和性质，图形面积的分割法计算，数学的分类思想，熟练掌握坐标与线段的关系，灵活运用分类思想，图形面积分割法计算是解题的关键．
22. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
（1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长．

图1 图2 图3
【答案】（1），理由见解析；（2）13；（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可得；
（2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得
（3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点则，连接，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长．
【详解】（1）如图

△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°


(SAS)
．
（2）如图

△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
,


(SAS)
，

在中，
．
（3）如图：作点关于对称点，连接

则,，









又




在与中

（AAS）

在中
=，
．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．