广东省湛江市雷州市第八中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省湛江市雷州市第八中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：____________班级：____________考号：____________座位号：______
一、单选题
1. 有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故选：B．
2. 我国第一艘航母辽宁舰最大排水量为67500吨，用科学记数法（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：67500用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）
A. 5B. 3.5C. 3D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．
【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，
∴这组数据的中位数是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：B．
6. 如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7. 如图，是直径，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
8. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：B．
9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为；
故选B．
10. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键．
详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 函数中，自变量的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0以及二次根式有意义的条件：被开方数不小于0进行解答即可．
【详解】解：由题意得且，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，则坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是可以直接写出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称的点的坐标变化规律．
【详解】解：∵点关于原点对称的点坐标为，
∴坐标为是，
故答案为：．
13. 一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：5．
14. 若是方程的一个根，则______．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，将代入得出，再作为整体代入即可．
【详解】解： a是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：2021．
15. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键．
【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴，
，，故①正确；
二次函数图像的对称轴，，
，
，故②正确；
由图可知，当时，，故③正确；
由对称轴，可得，
∴
故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④；
故答案为：①②③④．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：
（2）解方程：；
【答案】（1）8（2）
【解析】
【分析】本题考查了立方根、乘方、化简绝对值，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简绝对值，立方根、乘方、再运算加法，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2），
则，
∴．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移 到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出；
（2）关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）见详解，
（3）4
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，割补法求面积，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据点的对应点的坐标为，且结合平移的性质，即可作答．
（2）先找出关于原点对称得到的三个顶点，然后依次连接，即可作答．
（3）运用割补法进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
坐标为；
【小问3详解】
解：，
∴的面积为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？
【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元
【解析】
【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
【详解】解：设每件应降价x元．
根据题意列方程，，
解得，，，
∵尽快减少库存，
∴舍去，
故，
答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系：
（1）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此求解即可．
（2）一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，且
∴．
21. 如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【小问1详解】
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；
【类比探究】
（3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）或．
【解析】
【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证；
（）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证；
（）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论．
【详解】证明：（）和都是等边三角形，
，，，．
．．
．
在和中，
，
；
（）和都是等边三角形，
，，，，
，，
．
在和中，
，
．
．
，
；
（）或．理由如下：
如图，当在线段上时，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
（3）在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）点的坐标为
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，
即抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，
此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：
∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．