人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线课时作业

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线课时作业，共8页。
1.如图,已知点 P,D,E分别在OC,OA,OB上,有下列推理:
①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE;
②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;
③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.
其中正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABc=9,DE=2,AB=5,则AC的长是( )
A.2B.3C.4D.5
3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO : S△BCO : S△CAO等于( )
A.1: 1: 1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5
4.如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于 12DE的长为半径作弧,两弧交于点 F;作射线CF交AB 于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 .
5.如图,∠B=∠C=90°,E为BC上一点,AE平分∠BAD,DE平分∠CDA.
(1)求∠AED的度数;(2)求证:E是BC 的中点.
能力提升
6.如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,作BD⊥AD于点D,△ABC的面积为8，则△ACD的面积为 ( )
A.3B.4C.5D.6
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD,BE 相交于点 P,过点 P作 PF⊥AD交BC 的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB ;④S四边形ABDE=32S△ABP.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.如图,B,C,E三点在同一条直线上,CD平分∠ACE,DB=DA,DM⊥BE于点M,若AC=2, BC=32,则CM的长为 .
9.如图，铁路OA和铁路OB 交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A 处和B处，试在河道AB上修建一座水厂M，要求水厂M到铁路OA，OB的距离相等，问水厂M应建在什么位置?
10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°.
求证:BC=DC.
拓展延伸
11.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图①，当D是BC边的中点时，S△ABD : S△ACD= ;
(2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD : S△ACD的值；(用含m，n的式子表示)
(3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△EDE =6,那么S△ABC== .
角的平分线的性质 (二)
基础过关
1.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应直角边所对的顶点重合于点M，点M一定在 ( )
A.∠A 的平分线上B. AC边的高上
C. BC边的垂直平分线上D. AB边的中线上
2.如图,在△ABC中,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 ( )
A.125°B.135°C.55°D.35°
3.如图,PC⊥OA 于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,Q是OP 上一点,QE⊥OA 于点E,QF⊥OB于点F.求证:QE=QF.
能力提升
4.如图,在△ABC中,P,O分别是BC,AC上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若 AO=PO,PR=PS,有三个结论:①AS=AR,②OP∥AR,③△BRP≌△CSP,其中正确的是 ( )
A.①③B.②③C.①②D.①②③
5.如图,△ABC中,∠ABC=48°,∠ACB=84°,点D,E分别在BA,BC的延长线上,BP平分∠ABC,CP平分∠ACE,连接AP,则∠PAC的度数为 .
6.如图,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点,只需添加 ,就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线.
7.在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点 D, DE⟂AB,DF⟂AC,,垂足分别为E,F,连接EF,AD与EF交于点O,则AD与EF 的关系是 .
8.如图,DE⊥AB,交AB的延长线于点E, DF⟂AC于点F，且 DB=DC,BE=CF,,求证:AD是∠BAC的平分线.
9.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP 与内角 ∠ABC的平分线BP 交于点P，连接AP.
(1)延长 BA 至点E,求证:AP平分∠CAE;
(2)若∠BPC=40°,求∠CAP 的度数.
拓展延伸
10.如图,AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD,F为BD 和CE 的交点.
(1)求证:BD=CE;
(2)连接AF,求证:FA平分∠BFE.
模型积累
作业12 角的平分线的性质(一)
1. B 2. C 3. C 4.12
5.(1)解:∵∠B=∠C=90°,∴DC∥AB,
∴∠BAD+∠CDA=180°.
∵AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,
∴∠EAD=12∠BAD,∠EDA=12∠CDA,
∴∠EAD+∠EDA=12∠BAD+∠CDA=90∘,
∴∠AED=180∘−∠EAD+∠EDA=90∘.
(2)证明:过点 E作EF⊥AD 于点F,如答图.
∵AE平分∠BAD,∠B=90°,EF⊥AD,∴EF=EB.
∵DE平分∠CDA,∠C=90°,EF⊥AD,∴EF=EC.
∴EB=EC,即E是BC的中点.
6. B 7. C 8. 14
9.解:如答图,作∠AOB 的平分线OM,交AB于点M,M为水厂位置.
10.证明:如答图,过点 C作CE⊥AB,垂足为 E,作 CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵AC平分∠DAB,∴CE=CF.
∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠B=∠CDF.又∵∠CEB=∠CFD=90°,
∴△CEB≌△CFD.∴BC=DC.
11.(1)1:1
(2)解:如答图,过点 D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF.
∵AB=m,AC=n,
∴S△ABD:S△ACD=(12AB·DE):(12AC·DF)=mn.
(3)9
作业13 角的平分线的性质(二)
1. A 2. A
3.证明:∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD,
∴∠AOP=∠BOP.
∵QE⊥OA,QF⊥OB,∴QE=QF.
4. C 5.66° 6. ME=MN(答案不唯一)
7. AD垂直平分EF
8.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在 Rt△BDE和Rt△CDF中, {BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
9.(1)证明:如答图,过点 P作PN⊥BD 于点N,PM⊥BE于点M,PF⊥AC于点F.
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP 交于点 P,
∴PM=PN,PN=PF,∴PM=PF,而PA=PA,
∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),∴∠PAE=∠PAF,
∴AP平分∠CAE.
(2)解:设∠ABC=2α,∠ACD=2β.
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP 交于点 P,
∴β=α+∠BPC,而 β=2α+∠BAC2,
∴∠BAC=2∠BPC=80∘,∴∠CAP=180∘−80∘2=50∘.
10.证明:(1)∵∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC,
∴∠DAB=∠EAC.
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE.
(2)过点A作AN⊥EC于点N,过点 A 作AM⊥BD于点M，如答图，
∴S△DAB=12·DB·AM,S△EAC=12·EC·AN,
由(1)已证明△DAB≌△EAC,BD=CE,
∴S△DAB=S△EAC,
∴ 12·DB·AM= 12·EC·AN,∴AM=AN.
在Rt△ANF和Rt△AMF中 {AF=AF,AN=AM,
∴Rt△ANF≌Rt△AMF(HL),∴∠AFN=∠AFM,
∴FA平分∠BFE.
【模型1】作单垂线
【条件】AD平分 ∠BAC,∠C=90°,,作 DE⊥AB.
【结论】(1)DE=DC;
(2)△ADE≌△ADC.
【模型2】作双垂线
【条件】AD平分∠BAC,作 DE⊥AB,DF⊥AC.
【结论】(1)DE=DF;(2)△ADE≌△ADF;
3S△ABDS△ACD=ABAC=BDDC.