山东滨州市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份山东滨州市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（试卷+解析），共28页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交， 已知集合，则， 已知圆关于直线， 记为等差数列的前项和等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3，填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A. B. y=C. D.
4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线
C. 抛物线D. 线段
5. 已知圆关于直线（，）对称，则最小值为（ ）
A. B. 9C. 4D. 8
6. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（ ）
A. 42B. 95C. 102D. 109
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 恒过定点
C. 若，则或
D. 当时，不过第三象限
10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ）
A. 数列的公差为2
B. 取最小值时，
C.
D. 数列的前12项和为24
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点的坐标为
B. 若，则的最小值为
C. 若线段的中点坐标为，则直线的方程为
D. 若，则直线的斜率为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若三点共线，则实数的值为__________．
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
14. 已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若不过原点直线与抛物线交于两点，且，求实数的值.
16. 已知圆心为的圆经过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
17. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求数列的前项和．
18. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为2菱形，．为的中点，，点到平面的距离为．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为.
（1）求椭圆的面积；
（2）设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点.
（i）若，求直线的方程；
（ii）求四边形的面积的取值范围.
高二数学试题
2026.2
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3，填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.
【详解】.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，然后可算出答案.
【详解】因为，
所以
故选：B
3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A. B. y=C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合函数解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线
C. 抛物线D. 线段
【答案】A
【解析】
【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解.
【详解】由点满足可知，
动点到定点的距离之和为，
即，且，
根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆，
故选：A.
5. 已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
6. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面
直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解.
【详解】记，，，
则，，，
又，，
所以，
，
，
记与所成的角为，则．
故选：B
7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（ ）
A. 42B. 95C. 102D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推公式，九步到1，即，，.根据角谷猜想的结论可求得，再求出，相加可得答案.
【详解】由题可知，，，.
之后各项会按照的顺序循环.
因为，，所以.
因为.
当时，.
故选：C.
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线的方向向量为，且经过点与双曲线的右支交于点.若的内切圆的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，根据同角三角函数关系式求得.由的内切圆的面积为，得的内切圆半径，利用等面积可得，由余弦定理可得，联立得，根据得的值，进而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的焦距为，直线的倾斜角为，.
因为直线的方向向量为，所以直线斜率为，即，即，.
代入，得，因为，所以.
所以.
设的内切圆半径为，则其面积为，则.
又，所以，所以.
中，由余弦定理，
得，
即，所以.
所以，
因为，所以.
化简得，所以.
所以，所以，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 恒过定点
C. 若，则或
D. 当时，不过第三象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D.
【详解】对于A：若，则，解得或，
当时，，，则与重合，故舍去，
当时，，，则，故A错误；
对于B，直线，即，
令，解得，故直线过定点，故B正确；
对于C：若，则，解得或，故C正确；
对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确．
故选：BCD．
10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ）
A. 数列公差为2
B. 取最小值时，
C.
D. 数列的前12项和为24
【答案】AC
【解析】
【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据可求出与，得出A选项，然后写出等差数列的前项和公式分析即可得出选项B、C，直接计算数列的前12项和即可得出选项D.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由，①
，②
联立①②解得：，故A选项正确；
由，
所以等差数列的前项和为：
，
当时，有最小值，故B选项不正确；
由，
所以，故C选项正确；
数列的前12项和为：
，
故D选项不正确；
故选：AC
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点的坐标为
B. 若，则的最小值为
C. 若线段的中点坐标为，则直线的方程为
D. 若，则直线的斜率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设直线的方程为，，联立抛物线方程，利用韦达定理得，所以.由抛物线的定义，得，利用基本不等式，求得，从而得到抛物线的方程.求出焦点坐标，判断A；将转化为，由求得其最小值，判断B；若线段的中点坐标为，根据中点坐标公式求得直线的斜率，进而得到直线的方程，判断C；根据向量的坐标运算，得的关系，结合求出的值，从而求得直线的斜率，判断D.
【详解】由题可知，设直线的方程为，，则.
由，得，所以，，所以.
根据抛物线的定义，得，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以.
若的最小值为8，则，所以.
所以抛物线的方程为：.
对于A，因为，所以，所以焦点的坐标为，所以A不正确；
对于B，根据抛物线的定义，得，
若，则，
的最小值为.所以B正确；
对于C，若线段的中点坐标为，则，则即，.
所以直线的方程为，即，所以C正确；
对于D，若，则，所以，
所以，所以.
所以，解得
即直线的斜率为.所以D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若三点共线，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据三点共线，可知，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于的方程，解方程即可得到答案
详解：，
三点共线
，即，
解得
点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大．
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，又，所以；
故答案为：
14. 已知是圆与轴的两个交点，直线与圆交于两点，以为折痕，将折起，使得二面角的大小为，则折起后两点间的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析折叠前各线段的长度，及各点坐标，折叠后建立恰当的空间直角坐标系，求得点的坐标，根据空间两点间距离公式求得两点间的距离.
详解】折叠前，，，
.
折叠后，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则.
因为，且，所以是正三角形.
取线段的中点，连接，则，且，.
记在平面的投影为，连接.
因为二面角的大小为，所以.
所以.
所以点的坐标为.
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由焦半径公式得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）联立直线与，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，求出或0，时，不合要求，满足要求，得到答案.
【小问1详解】
点的横坐标为，
由抛物线焦半径公式可得，解得，
故抛物线方程为；
【小问2详解】
联立与可得，
所以，解得，
设，则，
所以，
，故，
即，解得或0，
当时，经过原点，不合要求；
当时，不经过原点，满足要求，故.
16. 已知圆心为的圆经过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，将点坐标代入求出，再化为标准方程即可；
（2）根据直线的斜率情况讨论，利用勾股定理求出弦长即可.
【小问1详解】
设圆的一般方程为，
则，得，
则圆的一般方程为，
故圆的标准方程为.
【小问2详解】
若直线斜率不存在，则，则圆心到直线的距离为，
则直线被圆截得的弦长为，符合题意；
若直线的斜率存在，则设，即，
则圆心到直线的距离为，
则直线被圆截得的弦长为，即，得，
则，
综上，直线的方程为或.
17. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）利用递推关系得出，结合得出数列为等比数列，进而求出通项公式；
（2）（i）根据等差数列通项结合的通项公式求出，进而求出；
（ii）利用的通项公式列出，根据的性质，利用错位相减法求和．
【小问1详解】
已知，，
当时，，
当时，，则，故，
又，
是首项为2，公比为2的等比数列，即．
【小问2详解】
（i）与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，
，
，故，
；
（ii），，，
，
，
．
18. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，通过线面垂直推出线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，得出相关点坐标和向量坐标，求平面法向量，利用二面角余弦公式构造方程求解．
【小问1详解】
底面是边长为2的菱形，，
是等边三角形，
为的中点，
，，
，，
，为的中点，
，，，
，平面，
平面，
平面，．
【小问2详解】
以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
则，
如下图所示，点到平面的距离为，，
，
，
因为在线段上，令，
，，
轴为平面的法向量，则，
平面中，向量，，
设为平面的法向量，则
，则
，
二面角的余弦值为，
化简整理得，解得或，
，，
当时，，
当时，，
存在点，且的值为或．
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.已知椭圆的离心率为，右顶点与上顶点的距离为.
（1）求椭圆的面积；
（2）设点是椭圆的右焦点，经过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点.
（i）若，求直线的方程；
（ii）求四边形的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）直线的方程为：或；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组解出的值，然后代入面积公式中计算即可；
（2）（i）对直线斜率不存在和存在进行分析均不满足题意，故直线斜率存在，设出方程，联立直线与椭圆方程消元写出韦达定理，根据弦长公式得出的表达式，由解出直线斜率即可；（ii）先对直线斜率不存在和存在且为0进行分析；然后对直线斜率存在且不为0进行分析，分析时结合点到直线距离公式，圆中弦长公式以及四边形面积公式进行求解.
【小问1详解】
由题意如图所示：
根据题意得：，解得：，
即，所以椭圆的面积为.
【小问2详解】
由（1）知椭圆标准方程为：，，
（i）当直线的斜率不存在时，如图所示：
此时的方程为：代入椭圆方程中，
解得，此时，不满足题意，
所以直线斜率存在且为0时，为椭圆的左右顶点，
此时，不满足题意，
所以直线的斜率存在且不为，设为，如图所示：
令直线的方程为：即，
联立，消去整理得：，
由，
设，
则由韦达定理得：，
所以
，
由即，
解得：，
所以直线的方程为：或.
（ii）当直线斜率不存在时，如图所示：
此时
当直线斜率存在且为0时，如图所示：
将代入圆中解得：，
所以，所以，
当直线的斜率存在且不为时， 由题意如图所示：
由（i）可得：，
因为直线与直线垂直且过，所以直线的斜率为
所以直线的方程为：即，
由圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为：
，
所以，
因为直线与直线垂直，所以，
所以
，
令，则，
所以 ，
因为，所以，
所以，
综上所述：，
故四边形的面积的取值范围为.