湖南郴州市汝城县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南郴州市汝城县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时量：120分钟 总分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 式子中，取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知三角形三边长分别是3，，9，则的值可以是（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 15
5. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 两点之间，线段最短
C. 全等三角形的对应角相等D. 两点确定一条直线
6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A B. C. D.
7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ）
A. 3B. C. D.
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算结果是______．
12. 已知，则分式的值为________．
13. 如图，中，，平分，，，则的面积是______．
14. 若，则________．
15. 如图所示网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度．
16. 如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是和，则正方形的面积为______．

三、解答题（共8小题，第17－21题每小题8分，第22－23题每小题10分，第24题12分，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 因式分解：
（1）
（2）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，是的边上一点，，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21. 如图，在，，．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（）的条件下，连接，求的周长．
22. 某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？
23. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：．
；
再如：求代数式的最小值．
，
可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：________．
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
24. 如图，等边边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒．
（1）用含的式子表示线段长度：________，________；
（2）当为何值时，为直角三角形；
（3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由．2025年下学期期末教学质量监测
八年级 数学
（时量：120分钟 总分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 式子中，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解决本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
根据二次根式的被开方数必须为非负数，由此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意可得，
解得，
∴的取值范围是．
故选：D．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可．
详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C．
3. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故．
【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位，
∴，
故选：C．
4. 已知三角形三边长分别是3，，9，则的值可以是（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系的应用．
根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定x的取值范围，再结合选项判断即可．
【详解】解：∵三角形三边分别为3，x，9，
∴根据三角形三边关系，得，
即，
∵选项中只有8满足，
∴x的值可以是8．
故选：B．
5. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 两点之间，线段最短
C. 全等三角形的对应角相等D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的特性，即三角形具有稳定性．利用三角形具有稳定性的特性，空调外机的支架能够牢固地固定在墙上，不易变形，从而保证空调外机的稳定和安全．
【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性，
∴B、C、D错误，A正确，
故选：A．
6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为，
∴另一个锐角的度数为，
故选：．
7. 用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．
先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂．
【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x．
∴该多项式的公因式为．
故选：C
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简．
【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为，
∴，
故选：B．
9. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定定理的应用，根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，，，
添加，利用可得，
故选：D．
10. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，交于点D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，先根据旋转的性质得，，然后通过，利用等边对等角得出，从而得到的度数．
【详解】解：∵绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：
12. 已知，则分式的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了求分式的值．
由已知条件可得，代入分式化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，中，，平分，，，则面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于点，由角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴的面积，
故答案为：．
14. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂．
将转化为，利用同底数幂相乘的法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键．
利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案．
详解】解：如图，
由图可得，，， ，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：45．
16. 如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是和，则正方形的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由已知可得，，，，，进而可证，即得，再根据勾股定理得，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得，，，，，，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，第17－21题每小题8分，第22－23题每小题10分，第24题12分，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括平方差公式和提取公因式后应用完全平方公式．
（1）观察式子结构，识别平方差形式，直接应用公式分解；
（2）先提取公因式，剩余部分再判断是否为完全平方式，进一步分解．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．
详解】解：原式
，
当时，原式．
20. 如图，是的边上一点，，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）由平行线的性质得，进而由判定定理“”即可求证；
（）由全等三角形的性质得，进而由线段的和差关系即可求解；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵，
∴．
21. 如图，在，，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（）的条件下，连接，求的周长．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，即得的周长，代入已知计算即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求；
【小问2详解】
解：∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
22. 某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？
【答案】0.6万平方米
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每天绿化的面积是x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
即原计划每天绿化的面积是0.6万平方米．
23. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：．
；
再如：求代数式的最小值．
，
可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：________．
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）时，多项式有最小值，最小值为
（3），时，多项式的最小值为
【解析】
【分析】（）仿照题例解答即可求解；
（）仿照题例解答即可求解；
（）仿照题例解答即可求解；
本题考查了配方法应用，掌握配方法是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
∵，，
∴当且时，多项式取最小值，
即时，多项式有最小值，最小值；
【小问3详解】
解：
，
，，
∴当且时，多项式取最小值，
即当，时，多项式的最小值为．
24. 如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒．
（1）用含的式子表示线段长度：________，________；
（2）当为何值时，为直角三角形；
（3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可；
（3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，，；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论：
情况1：当时，，
．
．
解得；
情况2：当时，，
．
，
解得．
因为点到点停止运动，所以的取值范围是，
所以，当或时，为直角三角形；
【小问3详解】
解：假设存在点为线段中点的情况．
过点作交于点．
是等边三角形，，
是等边三角形．
，
．
，
，．
是中点，
．
，
，．
，，
，
解得．
当时，．
，
．
经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意．
本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．