湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下面计算正确是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
5. 如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（ ）
A. 18B. 20C. 26D. 21
7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A. B. C. D.
9. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ）
A. 三角形中没有内角大于B. 三角形中有一个内角大于
C. 三角形中三个内角都大于D. 三角形中有两个内大于
10. 如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 命题“如果，那么”_____________命题(填“真”或“假”).
12. 某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组频率为0.25，则该小组人数有________人．
13. 因式分解：______．
14. 已知，则______．
15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．
16. 若是直角三角形三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 计算：
（1）；
（2）．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知，垂足分别为．求证：．
20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：
（1）本次参与调查的同学共有___________人；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？
21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
22. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足．
（1）求证：；
（2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？
23. 若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求代数式的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
24. 在中，，．
（1）如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．
2025年下学期期末质量监测试卷
八年级数学
考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数、，若满足，那么就叫做的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解；的算术平方根是，
故选；B．
2. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】A.是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是整式的运算，包括同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握各类运算法则是解题的关键．根据不同的运算法则对每个选项逐一分析，即可判断出正确答案．
【详解】解：选项:，错误；
选项:，错误；
选项:，正确；
选项:，错误．
故选：．
4. 下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
【答案】D
【解析】
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；
B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确．
故选D．
考点：抽样调查的可靠性．
5. 如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（ ）
A. 18B. 20C. 26D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，进而推出的周长为，即可得出结果．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴周长为．
故选D．
7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意；
B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意；
C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意；
D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意；
故选：C．
8. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断．
详解】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
9. 反证法是初中数学中一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ）
A. 三角形中没有内角大于B. 三角形中有一个内角大于
C. 三角形中三个内角都大于D. 三角形中有两个内大于
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立．
【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于，
故选：C．
10. 如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键．
先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
由折叠可知，
，
．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 命题“如果，那么”是_____________命题(填“真”或“假”).
【答案】真
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．
【详解】命题“如果a＞b＞0，那么是真命题，
故答案为真．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次根式的性质，难度不大．
12. 某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组的频率为0.25，则该小组人数有________人．
【答案】150
【解析】
【分析】用总人数乘以样本中数据在4.8～4.6这一小组的频率即可．
【详解】解：该小组人数有：600×0.25=150（人）．
故答案为：150．
【点睛】此题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
14. 已知，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算．
【详解】解：∵，，
∴ ．
故答案为12．
15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
16. 若是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质与配方法的综合应用，解题的关键是通过配方法将原式转化为平方和为的形式，从而求出三边长，再利用直角三角形内切圆半径公式求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，，，
直角三角形的直角边为和，斜边为，
角平分线的交点到一条边的距离即为的内切圆半径：．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）按多项式除以单项式的法则求解即可．
（2）先对各数开平方，开立方，再按照有理数的加减运算计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，已知，垂足分别为．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键．
先由垂直得直角，再通过线段和差得，证，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
在和，
，
，
．
20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：
（1）本次参与调查同学共有___________人；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？
【答案】（1）50 （2）见详解
（3）320人
【解析】
【分析】（1）用喜欢“B”实验的人数除以其所占百分比即可作答；
（2）用总人数乘以喜欢“C”实验的人数所占百分比，求出喜欢喜欢“C”实验的人数，进而可求出喜欢“D”实验的人数，据此补全图形即可；
（3）用全校总人数乘以喜欢“A”实验的人数所占的百分比即可作答．
【小问1详解】
（人），
答：本次抽调的同学人数为50人；
【小问2详解】
（人），
（人），
补全图形如下：
【小问3详解】
（人），
答：全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有320人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本百分比估计总体的知识，将条形统计图、扇形统计图的数据加以联系，是解答本题的关键．
21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且
（1）求的长；
（2）求证：是直角三角形．
【答案】（1）5 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，
（1）在中，根据勾股定理即可求得的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴．
【小问2详解】
证明：∵在中，，
∴是直角三角形．
22. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足．
（1）求证：；
（2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？
【答案】（1）证明见解析
（2）他们会被垂直滴下的雨水淋到
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
（1）根据，，可得，再根据三边对应相等，两三角形全等，即可求证；
（2）由，可得，根据等腰三角形的三线合一可得，由勾股定理求出的长度，将的长度和两人的总宽度做大小比较，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
23. 若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求代数式的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）5 （2）13
（3）28
【解析】
【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，再利用进行运算即可；
（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，再利用进行运算即可；
（3）正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，可得MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，则（x－3）•（x－5）＝48，（x－3）－（x－5）＝2，由阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．从而可得答案．
【小问1详解】
解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
【小问2详解】
设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
【小问3详解】
∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3）•（x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与几何图形的面积之间的关系，利用平方根的含义解方程，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键．
24. 在中，，．
（1）如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．
【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①由可得，易证；
②由①可知，，可求得，，在中，运用勾股定理可求解；
（2）如图，连接，同①可证，结合已知，，，，可求得，根据等角对等边可得证．
【小问1详解】
①证明：，
，
即，
在与中，
；
②，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，
；
【小问2详解】
（2）如图，连接，
，
，
即，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明和性质的应用，勾股定理求边长，还考查了等腰三角形性质的应用和证明；熟练掌握相关性质是解题的关键．