湖南省郴州市汝城县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省郴州市汝城县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A. 30° B. 48° C. 38° D. 52°
【答案】C
【解析】由题意可得，
另一个锐角度数为：90°-52°=38°，
故选：C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A. 6米 B. 9米 C. 12米 D. 15米
【答案】B
【解析】如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选：B．
4. 如图，在中，，，，D为的中点，则等于（ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
【答案】B
【解析】∵，
∴．
∵D为的中点，
∴．
故选：B．
5. 若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（ ）
A. 13 B. C. 13或 D. 不确定
【答案】A
【解析】由题意知，5与12只能是两直角边，
第三个勾股数：，
故选：A．
6. 图中能表示的边上的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中，画出边上的高，即是过点A作边的垂线段，正确的是D．
故选：C．
7. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】含有三角形结构的支架不容易变形，只有B选项的图形中有三角形支架，
故选：B．
8. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形
C. 四个内角都相等的四边形是矩形
D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【解析】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意；
B、
在平行四边形中，对角线平分，，
，，
，
，
四边形是菱形，
故选项正确，不符合题意；
C、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
D、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
10. 如图，在矩形中，对角线，BD相交于点O，，则矩形的周长为（ ）
A. 12 B. 16 C. D.
【答案】D
【解析】∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴矩形的周长为：．
故选：D．
二、填空题
11. 已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为____________．
【答案】90°
【解析】由得：，，
解得：，，
∵，
∴，
∴的形状为直角三角形，且，
故答案为：．
12. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【解析】还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
13. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．
【答案】100
【解析】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100m．
故答案为100．
14. 如图，中，，的平分线交于，若，则点到的距离是__________．
【答案】4
【解析】∵的平分线交于点D，，，
∴，
故答案为：4．
15. 如图，在中，，，，则的周长是_______．
【答案】20
【解析】∵在中，，，
∴，，
∴的周长是：．
故答案为：20．
16. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为______度．
【答案】45
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴
则，
∴，
则，
故答案为：45．
17. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________．
【答案】平行四边形
【解析】如图所示，
四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形．
18. 已知菱形中，，．则菱形的面积为__________．
【答案】24
【解析】∵菱形中，，，，
∴菱形的面积．
故答案为：24．
三、解答题
19. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数．
解：这个多边形的边数是n，依题意得,
，
．
∴这个多边形的边数是7．
20. 如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
（1）请你找到对称中心O的位置．
（2）连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
解：（1）对称中心O的位置如图所示：
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由中心对称的性质可得，，
四边形是平行四边形．
21. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
解：∵P是的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，在中，，，为AB延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
（1）证明：如图，
∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠CFA=90°-15°=75°．
23. 如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
解：（1），，
，，，
的长为；
（2），，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积．
，
四边形的面积为．
24. 如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B=60°，BC=8，求的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=BC=4，CM=4，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴的面积为AB×CM=8×4=32．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
解：（1）能．
理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60－4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，
解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，解得t＝；
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，
D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
26. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
（1）解：四边形是垂美四边形．
理由：连接AC，BD，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为．
（3）解：连接、，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．