河南省许昌市2025-2026学年九年级数学第一学期期末质量检测（试卷+解析）

这是一份河南省许昌市2025-2026学年九年级数学第一学期期末质量检测（试卷+解析），共30页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列每个小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列数学经典图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A. 洛书B. 割圆术示意图
C. 莱洛三角形D. 黄金分割螺旋线
2. 如果关于的一元二次方程的一个实数根是，那么的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（ ）
A. 正面朝上的可能性大B. 反面朝上的可能性大
C. 相等D. 无法确定
4. 如图，是的直径，点A、B在上．若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 反比例函数y＝的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第一、二象限D. 第二、四象限
6. 如图，在中，已知、分别是、边上的点，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________．
12. 如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________．
13. 抛物线与轴只有一个交点，则________．
14. 如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________．
15. 边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 请用两种方法解方程：．
17. 古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为．
（1）求动力与动力臂之间的函数表达式．
（2）如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？
18. 四匹骏马齐亮相，骐骥驰骋踏新程！中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．今年除夕夜，奇奇一家人准备玩家庭多轮抽盲盒游戏：每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装有“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”玩偶，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）任意一轮游戏中随机抽取一个盲盒并打开，恰好抽到装有“骐骐”玩偶的概率是________．
（2）若某轮只有奇奇和妙妙两兄妹参加抽盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽到装着“驰驰”和“骋骋”玩偶盲盒的概率．
19. 如图，是切线，切点为．连接，，交于点，．
（1）求证：．
（2）若的半径为2，，求阴影部分的面积．
20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图2和图3中的折线）．周末，南南和同学一起来到曹魏古城南城门，利用“矩”测量南城门内门的高度．如图，他们不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与内门顶部点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，南南的眼睛到地面的距离，测得．
（1）求南城门内门的高度．
（2）据官方规划及竣工资料中记载，南城门内门高．请计算本次测量结果误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
21. 学校计划在校园开辟一块劳动基地．如图，学校的一面墙长为8米，用一段长为20米的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园（）．
（1）能围成一个面积为32平方米矩形菜园吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
（2）这个矩形的长、宽各是多少时，矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
22. 二次函数（、为常数，且）的对称轴为直线，且经过点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．
（3）已知点与分别在该抛物线的图象上，且，请直接写出的取值范围．
23. 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，即：我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图1，在中，，，点是直线上一动点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．试探究线段与的位置关系．
【特殊化感知】
（1）先从简单的、特殊的情况开始研究；
如图2，当点与点重合时，线段与的位置关系是________．
【一般化探究】
（2）当点与点不重合时，线段与的位置关系是否发生变化．若不变，请仅就图1的情形给出证明．若变化，请写出正确结论，并证明．
【拓展性延伸】
（3）若，，请直接写出线段的长．
挑战题
24. 已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
25. 如图，是半圆的直径，点是延长线上一点，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作半圆的切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接．
①若，则的长为________；
②若，则的长为________．
2025-2026学年第一学期期末质量检测
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列每个小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列数学经典图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 洛书B. 割圆术示意图
C. 莱洛三角形D. 黄金分割螺旋线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2. 如果关于的一元二次方程的一个实数根是，那么的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握解的定义．
本题可利用一元二次方程解的定义，将已知的实数根代入方程，通过解方程求出a的值．
【详解】解：将代入方程，得
，
即，
，
∴，
故选：D．
3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（ ）
A. 正面朝上的可能性大B. 反面朝上的可能性大
C. 相等D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果．
【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同，
∴正面朝上和反面朝上的可能性相等；
故选：C．
4. 如图，是的直径，点A、B在上．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理等知识点，掌握圆的有关性质是解题的关键．
连接，由圆周角定理可得，再结合可得即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5. 反比例函数y＝的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第一、二象限D. 第二、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【详解】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键．
6. 如图，在中，已知、分别是、边上的点，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上，
又∵，
∴开口向上．
故选：D．
8. 某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
根据平均每月增长率模型，列方程即可．
【详解】解：根据题意可得．
故选：B.
9. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是构造直角三角形；根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：∵，
∴，
设，
在中，
∵，，
∴，
解得：，
即：，
故选：C ．
10. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，
AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法即可．
【详解】解：将点代入得：，
解得：，
故答案为：．
本题考查了待定系数法，熟练掌握其基本知识是解题关键．
12. 如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论．
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴，
∵，
∴，
同理：，，
故答案为：．
13. 抛物线与轴只有一个交点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解．
【详解】解：令，则
依题意，
解得：．
故答案为：．
14. 如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，，
∵多边形是正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________．
【答案】或2
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分别计算当、或为直角时的长度．
【详解】解：正方形边长为4，
，
点在边上，且，
，
令，则，
在中，，，
在中，，，
在中，，，
当时，，
，
解得，，
；
当时，，
，
解得，，
；
当时，，
，
解得，（不合题意，舍去）
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 请用两种方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．
利用因式分解法和公式法，解一元二次方程即可．
【详解】解：方法一：
，
方程化为：，
因式分解，得：，
于是得：或，
解得：，．
方法二：
，
方程化为：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
17. 古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为．
（1）求动力与动力臂之间的函数表达式．
（2）如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？
【答案】（1）
（2）壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，理解题意，求出函数解析式，是解题的关键．
（1）根据杠杆平衡原理得出函数解析式即可；
（2）求出当时，，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据“杠杆原理”，得，
．
答：关于的函数解析式为．
【小问2详解】
解：当时，由得：
，
对于，当时，越小，越大，
壮壮最多能使出的力，
，
所以，壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要．
18. 四匹骏马齐亮相，骐骥驰骋踏新程！中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．今年除夕夜，奇奇一家人准备玩家庭多轮抽盲盒游戏：每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装有“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”玩偶，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）任意一轮游戏中随机抽取一个盲盒并打开，恰好抽到装有“骐骐”玩偶的概率是________．
（2）若某轮只有奇奇和妙妙两兄妹参加抽盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽到装着“驰驰”和“骋骋”玩偶盲盒的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算，根据概率公式计算，列表法或树状图法求概率，熟记概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）用列表法求解即可．
【小问1详解】
解：抽到装有“骐骐”玩偶的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：记“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”分别用字母、、、表示．
根据题意可列出表格如下：
由表可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到装着“驰驰”和“骋骋”玩偶盲盒的结果有2种，所以，两人恰好抽到装着“驰驰”和“骋骋”玩偶盲盒的概率为
19. 如图，是的切线，切点为．连接，，交于点，．
（1）求证：．
（2）若的半径为2，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，构造辅助线证明是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）先求出，然后求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
直线是的切线，
．
又在中，，
．
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
．
在中，，．
．
．
．
20. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图2和图3中的折线）．周末，南南和同学一起来到曹魏古城南城门，利用“矩”测量南城门内门的高度．如图，他们不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与内门顶部点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，南南的眼睛到地面的距离，测得．
（1）求南城门内门的高度．
（2）据官方规划及竣工资料中记载，南城门内门高．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）南城门内门的高度为
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
（1）证明，利用相似三角形的性质求出，即可求出的高度；
（2）求出误差，根据多次测量取平均值进行解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得，．
又，
．
，，，
．
．
答：南城门内门的高度为
【小问2详解】
解：误差为．
建议：多次测量取平均值，可以减小误差；使用更高精度的测量仪器；测量前校正测量仪器等（答案不唯一，合理即可）
21. 学校计划在校园开辟一块劳动基地．如图，学校的一面墙长为8米，用一段长为20米的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园（）．
（1）能围成一个面积为32平方米的矩形菜园吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
（2）这个矩形的长、宽各是多少时，矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）能围成面积为32平方米的矩形菜园，此时长为8米．
（2）这个矩形的长为8米、宽为6米时，矩形菜园的面积最大，最大面积是48平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，建立二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，设长为米，则为米，根据矩形场地面积为32平方米，列出方程，解出，再计算，满足（米）即可；
（2）设矩形菜园长为米，得长为米，根据题意建立矩形菜园面积关于的二次函数，即可解答．
【小问1详解】
解：假设能围成32平方米的矩形菜园，设此时长为米，则为米．
由题意得，．
解得：，．
当时，；当时，．
又学校的这面墙长为8米，
∴．
∴．
答：能围成面积为32平方米的矩形菜园，此时长为8米．
【小问2详解】
解：设矩形菜园长为米，则长为米，矩形菜园面积为，由题意得，
∵，，
∴当时，最大．
（平方米）．
此时，．
答：这个矩形的长为8米、宽为6米时，矩形菜园的面积最大，最大面积是48平方米．
22. 二次函数（、为常数，且）的对称轴为直线，且经过点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．
（3）已知点与分别在该抛物线的图象上，且，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数的图象、二次函数的图象及性质，关键是熟练应用知识点解题；
（1）利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）描出符合函数关系的点绘制函数图象；
（3）根据二次函数的增减性确定的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，且经过点，
，
解得，
抛物线对应的二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：画出函数图象，如图所示；
【小问3详解】
解：∵，
∴开口向下，
∵点与分别在该抛物线的图象上，且，对称轴为，
∴，
即时，．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数的图象、二次函数的图象及性质，关键是熟练应用知识点解题．
23. 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，即：我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图1，在中，，，点是直线上一动点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．试探究线段与的位置关系．
【特殊化感知】
（1）先从简单的、特殊的情况开始研究；
如图2，当点与点重合时，线段与的位置关系是________．
【一般化探究】
（2）当点与点不重合时，线段与的位置关系是否发生变化．若不变，请仅就图1的情形给出证明．若变化，请写出正确结论，并证明．
【拓展性延伸】
（3）若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）线段与的位置关系不变，理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）由旋转得，，而，，则，，所以，即可证明四边形是正方形，于是得到问题的答案；
（2）作交于点，连接，则，可证明，得，，则，，得，即可证明四边形是矩形，则；
（3）分两种情况，一是点在线段上，作交于点，连接，则，，四边形是矩形，因为，所以；二是点在线段的延长线上，作交的延长线于点，连接，可证明，得，，则，，进而证明四边形是矩形，，所以．
【详解】解：（1）由旋转得，，
点与点重合，
，，
，，
，，
则，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
∴
故答案为：．
（2）线段与的位置关系不变，理由如下：
如图，作交于点，连接，则，
，
，，
，
，
，
，
∴，
，，
，，
则，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
．
（3）当点在线段上
如图，作交于点，连接，则，
由（2）得，四边形是矩形，
，
，
当点在线段的延长线上
如图，作交延长线于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
综上所述，的长为或．
本题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．
挑战题
24. 已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
【详解】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，
∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0，
∴（a+3b）2-（c-5b）2=0，
∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0，
即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b-c＞0，
∴a+8b-c＞0，
∴a+c-2b=0，
∴a+c=2b．
本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，解答本题的关键是把题干等式变形为平方差形式进而分解因式，进而求出a，b和c的关系，此题难度不大．
25. 如图，是半圆直径，点是延长线上一点，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作半圆的切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接．
①若，则的长为________；
②若，则的长为________．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、锐角三角函数、圆周角定理，关键找到；
（1）在半圆上找到点构造即可；
（2）①利用勾股定理可求，则，继而可得，则可求；
②根据勾股定理可求，则可求得．
【小问1详解】
解：作的垂直平分线找到的交点，以为圆心为半径画弧交半圆于点，
如图所示：点即为所求．
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴是半圆的切线；
【小问2详解】
解：①连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
；
②∵，
∴，
∴．
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