重庆黔江区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份重庆黔江区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
2. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列事件，适合全面调查的是（ ）
A. 调查长江流域的水质情况
B. 调查重庆北站乘客是否携带违禁物品
C. 调查重庆市某区八年级学生的视力状况
D. 调查一批LED灯的使用寿命
4. 下列各数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 如图，，和分别是和的高，若，则的值是（ ）
A 4B. 3C. 2.5D. 3.2
6. 若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（ ）
A. B. C. 2D.
7. 估计的值应在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
8. 下列命题中，①0的平方根和立方根都是0；②实数与数轴上的点一一对应；③有一个角为的等腰三角形是等边三角形；④角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9. 河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 对于两个代数式，记，下列说法：①若，则；②将的结果分解因式为；③的最小值为．正确的有（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 4的平方根是_____．
12 分解因式：____________．
13. 把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________．
14. 若，则的值为___________．
15. E如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，则_____．
16. 各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和为8，十位数字与个位数字之和为10，则称为巴适数．那么最小的巴适数为_____；将一个巴适数的千位数字与个位数字对调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为，规定，若的值是一个完全平方数，完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数的最大值为_____．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）计算：；
（2）求的值：．
18. 学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究．如图，点是等边三角形边上一点，连接，请帮助小张完成如下作图和填空：
（1）用尺规在内部以为边作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中利用三角形全等证明．
证明：是等边三角形
， ①
在和中
（ ② ）
③ （ ④ ）
．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 小万在学校组织的社会实践活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了20户居民家庭的人均月收入（收入用表示，取整数，单位：元），将抽取的20户居民家庭的人均月收入先分成六个组（即，，，，，），再分为三个等级（即低收入，中等收入，高收入）．
【收集数据】20户居民家庭的人均月收入统计数据：750，810，920，980，1000，1010，1050，1080，1080，1100，1100，1120，1190，1250，1250，1300，1320，1430，1500，1790．
【整理数据】按如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图进行整理、描述数据：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为_____．
（2）请根据已有信息补全频数分布直方图；
（3）请你估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有多少户？
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，点在的边上，，．
（1）求证：；
（2）交于点，若，求证：．
22. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
23. 如图，的顶点，，所对的边分别为，，．
（1）若，试说明是直角三角形；
（2）在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
24. 【呈现旧知】命题两条边和其中一条边所对的角分别相等的两个三角形全等是假命题，即SSA不一定能判定两个三角形全等．判断它是假命题，小聪同学举出如图1所示的反例：小聪利用尺规作出的角平分线，在上任取一点，以为圆心，适当长为半径画弧交的两边分别于点，，连接，．在和中，，，，显然与不全等．
【再探新知】（1）小聪同学对图1中的四边形进行了深入探究，发现在四边形中与之间存在特定的数量关系，请用等式直接表示与之间的数量关系：_____；
【拓展新知】（2）将小聪的作图痕迹擦除，如图2，若，求证：．
25. 中，，，点在边上．
（1）如图1，过点垂线经过点，请用含的式子表示；
（2）如图2，过点的垂线交的延长线于点，交于点，若且．求证：；
（3）如图3，点在边上，满足，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的值．
数学二
数学共4页，满分150分，时间120分钟．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的基本法则以及平方比较法是解题的关键．先依据正数大于0，0大于负数的基本法则，再通过平方比较正数的大小，从而确定所有数的完整大小关系．
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴，，
∵，，且，
∴，
∴，
∴四个数中最大的数是，
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法与除法．
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法与除法法则逐一判断即可．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C．
3. 下列事件，适合全面调查的是（ ）
A. 调查长江流域的水质情况
B. 调查重庆北站乘客是否携带违禁物品
C. 调查重庆市某区八年级学生的视力状况
D. 调查一批LED灯的使用寿命
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查的区别，熟练掌握两种调查方式的适用条件是解题的关键．
先明确全面调查与抽样调查的适用范围，再结合每个选项的场景特点，判断其适合的调查方式．
【详解】∵全面调查是对所有考察对象逐一开展调查，适用于范围小、意义重大、无破坏性的场景．
A选项长江流域范围广阔，适合采用抽样调查．
B选项重庆北站乘客携带违禁品事关公共安全，必须对每位乘客进行检查，适合全面调查．
C选项某区八年级学生人数较多，适合采用抽样调查．
D选项测试LED灯使用寿命会对产品造成破坏，适合采用抽样调查．
∴适合全面调查的是B选项．
故选：B．
4. 下列各数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，求算术平方根．
根据无理数定义逐一判断即可．
【详解】解：是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数；
是分数，属于有理数；
无限不循环小数，属于无理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
，是整数，属于有理数；
∴无理数有、、，共3个．
故选：C．
5. 如图，，和分别是和的高，若，则的值是（ ）
A. 4B. 3C. 2.5D. 3.2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及利用判定三角形全等是解题的关键．根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定义得到直角，再通过证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等．
【详解】解：∵，
∴，，
∵、分别是、的高，
∴，
和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键．
先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长．
【详解】解：∵每个小方格边长为1,
∴阴影部分面积，
∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等，
∴新正方形面积为5，
∴新正方形边长为，
故选：D．
7. 估计的值应在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算．
通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴的值在5和6之间．
故选：A．
8. 下列命题中，①0的平方根和立方根都是0；②实数与数轴上的点一一对应；③有一个角为的等腰三角形是等边三角形；④角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系、等边三角形的判定、角平分线的性质定理，熟练掌握这些基础知识点并准确判断命题真假是解题的关键．
逐一判断每个命题的真假，依据平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系、等边三角形的判定定理、角平分线的性质定理进行分析，最后统计真命题的个数．
【详解】①∵0的平方根是0，0的立方根是0，∴该命题是真命题．
②∵实数与数轴上的点一一对应是实数的基本性质，∴该命题是真命题．
③分两种情况讨论：
情况一：若等腰三角形的顶角为，则底角为，三个内角均为，是等边三角形；
情况二：若等腰三角形的底角为，则顶角为，三个内角均为，是等边三角形；
∴该命题是真命题．
④∵角平分线上的点到角两边的距离相等是角平分线的性质定理，∴该命题是真命题．
综上，4个命题均为真命题，即真命题的个数为4个．
故选：D．
9. 河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股定理是解题的关键．先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程．
【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为米，
∴ 水深为米，
∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边，
∴ 根据勾股定理得：，
故选：B．
10. 对于两个代数式，记，下列说法：①若，则；②将的结果分解因式为；③的最小值为．正确的有（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、因式分解、配方法求二次式的最值，熟练掌握方程求解、因式分解和配方法是解题的关键．对三个说法逐一验证，分别通过代入求解方程、因式分解、配方法求最值来判断对错，最后统计正确说法的数量．
【详解】解：①∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①错误；
②∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
综上，正确的说法有个，
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 4的平方根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根．
根据平方根的定义，求4的平方根即可
【详解】解：∵，
∴4的平方根是．
故答案为：．
12. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________．
【答案】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形.
【解析】
【分析】一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果是条件，那么是结论．
【详解】因为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”中“三个内角都相等的三角形”是条件，“等边三角形”是结论，则可得如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形.
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法.
14. 若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法．逆用同底数幂的除法法则，可得：，把代入计算求值即可．
【详解】解：，
当时，
原式．
故答案为：．
15. E如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线，熟练运用勾股定理解题．
连接，则由线段垂直平分线得到，然后设，在中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
16. 各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和为8，十位数字与个位数字之和为10，则称为巴适数．那么最小的巴适数为_____；将一个巴适数的千位数字与个位数字对调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为，规定，若的值是一个完全平方数，完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数的最大值为_____．
【答案】 ①. 1728 ②. 7164
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义问题、完全平方数的性质、数字组合与互异性分析，熟练掌握新定义的规则并结合数的性质进行推导是解题的关键．
先根据巴适数的定义，通过确定最小的千位和十位数字来找到最小数；再对为完全平方数的条件进行推导，结合数字互异性和千位最大的要求，找到最大数．
【详解】解：设的千位、百位、十位、个位数字分别为，则，，且为1至9的整数且互不相等，
∵千位取最小正整数1，
∴，
∵十位取最小且与不相等的正整数2
∴，
∴最小巴适数为，
∵，为千位与个位、百位与十位对调后的数，
，，
又，
则。
∴，
∵为完全平方数，
∴（为整数），
∴，即为完全平方数，
∵为1至9的整数，
∴或或，
当时，可能的为，
∵，，
∴对应，，
∵数字互不相等，
∴此时无合适的巴适数，
当时，可能的为，
∵，，
∴对应，，
∵数字互不相等，
∴得到，
当时，可能的为，
∵互不相等，
∴仅有效，
∵要找满足条件的最大，
∴比较得最大数为，
故答案为：；．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的立方根．
（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可；
（2）先移项，进而得到，根据立方根求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
．
18. 学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究．如图，点是等边三角形边上一点，连接，请帮助小张完成如下作图和填空：
（1）用尺规在内部以为边作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中利用三角形全等证明．
证明：是等边三角形
， ①
和中
（ ② ）
③ （ ④ ）
．
【答案】（1）见解析 （2）①；②ASA；③；④全等三角形对应边相等
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质：
（1）根据作一个角等于已知角的作法解答即可；
（2）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
证明：是等边三角形
，，
在和中
（全等三角形的对应边相等）
．
故答案为：；；；全等三角形的对应边相等
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 小万在学校组织的社会实践活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了20户居民家庭的人均月收入（收入用表示，取整数，单位：元），将抽取的20户居民家庭的人均月收入先分成六个组（即，，，，，），再分为三个等级（即低收入，中等收入，高收入）．
【收集数据】20户居民家庭的人均月收入统计数据：750，810，920，980，1000，1010，1050，1080，1080，1100，1100，1120，1190，1250，1250，1300，1320，1430，1500，1790．
【整理数据】按如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图进行整理、描述数据：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为_____．
（2）请根据已有信息补全频数分布直方图；
（3）请你估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有多少户？
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）户．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，求圆心角，用样本估计总体．
（1）用“高收入”人数除以众数乘以即可；
（2）根据人均月收入统计数据补全频数分布直方图即可；
（3）用中等收入的比例乘以440即可．
【小问1详解】
解：由人均月收入统计数据可知“高收入”有3户，
∴扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：由人均月收入统计数据可知，有9户，有2户，
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：由人均月收入统计数据可知，中等收入的大约有户，
户，
答：估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有户．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值．先计算乘法公式、多项式除以单项式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
21. 如图，点在的边上，，．
（1）求证：；
（2）交于点，若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）根据得到，根据，得到，进而根据即可证明；
（2）过点作于点，由（1）知，，得到，，证明，得到，即可证明．
【小问1详解】
证明：，
，
，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：过点作于点，
，
由（1）知，，
，，
又于点，
，
又，，
，
，
．
22. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，多项式的乘法．
（1）根据完全平方公式得到，进而计算即可；
（2）先计算多项式乘法，再化为，进而计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
23. 如图，的顶点，，所对的边分别为，，．
（1）若，试说明是直角三角形；
（2）在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）存在，5或8或18或
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点．
（1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可；
（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴
，，
，
∴，
∴
是直角三角形
【小问2详解】
解：存在，
①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
∵
∴；
②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、，
∴；；
③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则
∵，
∴，
∴
解得，即
综上：的值为5或8或18或．
24. 【呈现旧知】命题两条边和其中一条边所对的角分别相等的两个三角形全等是假命题，即SSA不一定能判定两个三角形全等．判断它是假命题，小聪同学举出如图1所示的反例：小聪利用尺规作出的角平分线，在上任取一点，以为圆心，适当长为半径画弧交的两边分别于点，，连接，．在和中，，，，显然与不全等．
【再探新知】（1）小聪同学对图1中的四边形进行了深入探究，发现在四边形中与之间存在特定的数量关系，请用等式直接表示与之间的数量关系：_____；
【拓展新知】（2）将小聪的作图痕迹擦除，如图2，若，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）采用截长法，在上取一点，使得，结合角平分线性质证明，得到；再由推出，从而得到；最后利用，完成角度关系的推导．
（2）采用补短法，延长至使，构造全等三角形，得到；再结合已知角度推出为等边三角形，通过线段和差关系完成证明．
【详解】（1）解：在上取点，使，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：延长至，使，连接，
由（1）得又，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四边形内角和及邻补角的性质，熟练掌握截长补短法构造全等三角形，以及全等三角形与等边三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 在中，，，点在边上．
（1）如图1，过点的垂线经过点，请用含的式子表示；
（2）如图2，过点的垂线交的延长线于点，交于点，若且．求证：；
（3）如图3，点在边上，满足，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于，可证，得到，，再由是等腰直角三角形可得，，即得，得到，即可得，得到，，再证明，得，即得，即可求证；
（）过点作，取，连接，可证，得到
，即得到，可知当、、三点共线时，的值最小，再由得到，即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于，则，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
，，
，，
∴是等腰直角三角形，
，，
∴，
即，
，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
，
，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
；
【小问3详解】
解：如图，过点作，取，连接，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
∵，，，
∴，
．