重庆市南岸区重庆文德中学校2025~2026学年上册八年级12月月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市南岸区重庆文德中学校2025~2026学年上册八年级12月月考数学试题【附解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．0
2．若在实数范围内有意义，则实数的值不可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A．B．C．0D．
5．估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间B．3到4之间C．5到6之间D．7到8之间
6．在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（ ）
①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为；
②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数；
③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度；
④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于；
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
8．两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A．B．C．D．
9．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论：
①山的高度是米；
②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况；
③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍；
④小王比小张先出发分钟．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：
①化简：，一共有4种不同的形式；
②化简：，一共有4种不同的结果；
③若（n为正整数），则当时，．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．计算：= ．
12．若，则 ．
13．已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ．
14．如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，从正面看的样子如图所示，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 cm．
15．如图，在中，，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则 ．
16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数是“阶梯数”；又如：四位数不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”为，则这个数为 ；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被5整除，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，利用尺规在的边上方作射线，在射线上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法，不作答）．
证明：∵
①
∴在和中
③
∴（④ ）
19．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为．
（1）求a，b的值；
（2）求原方程组的解；
（3）直接写出关于m，n的二元一次方程组的解．
20．文德中学开展了科技嘉年华活动．活动结束后学校组织学生对该活动进行评分．每个人需要对该活动的趣味性、科学性、安全性进行打分（每项满分100），三项评分按的权重计算最终评分．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的最终评分．所有学生的最终评分均高于60分（评分分数用表示，共分为三组：A．；B．；C．）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生最终评分分数分别为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94．
八年级10名学生最终评分落在B组的数据是：84，86，86．
某同学给该活动的趣味性、科学性、安全性打分分别为95，88，90，则最终评分为．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有2000名学生对科技嘉年华活动进行了评分，估计该校七、八年级共有多少人给出的最终评分超过了90分？
21．如图所示，A，B两点坐标分别为．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并画出关于轴对称的，则的坐标为 ；
（2）为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标： ；
（3）为轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标 ．
22．如图，在中，平分，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合图象，直接写出当时，的取值范围．
23．重庆奉节脐橙色泽鲜艳，甜酸适度，汁液丰富，深受广大市民喜爱．奉节县某批发经销商计划运输一批脐橙到主城出售，准备租货车运输．某租车公司现有A，B两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货吨．A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）租车公司出租一台型货车成本为元，出租一台型货车成本为元，若在某次运输脐橙的交易中，6辆型车原价出租，辆型车租金打折，租车公司最终获利元，求的值；
（3）若该经销商现有吨脐橙，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
24．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点．
（1）求出直线的函数表达式，及交点的坐标；
（2）如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积；
（3）如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
25．如图，．
（1）如图1，点点分别在和上，连接，若，求的长度；
（2）如图2，连接，F为上一点，连接，满足，请探究和的数量关系并证明；
（3）如图3，在（1）问条件下，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，当周长最小时，直接写出的面积．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此解答即可．
【详解】解： 是无理数；
是分数形式，是循环小数，0是整数．
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键．根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即 ，解得，然后验证各选项是否满足此条件即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
∴的值不可以是2．
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是
故选A
4．【正确答案】D
【分析】反例中的满足，使，从而对各选项进行判断．
【详解】解：当时，满足，但，
所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出．
故选D．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围．
【详解】解：

=
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 结果在 3 到 4 之间．
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可．
【详解】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为，故下四分位数是，故①错误；
结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，故②正确；
结论③：西安的最高气温低于济南的部分气温，并非“都高于”，故③错误；
结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在以上，但不低于的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的，
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键；根据题意，绳子比木长4.5尺，所以；对折绳子后量木，木剩余1尺，说明对折绳长比木长短1尺，所以．
【详解】解：由题意知木长x尺，绳长y尺，
∵引绳度之，余绳4.5尺，
∴，
∵屈绳量之，不足一尺，即对折绳量木，木余1尺，
∴，
故得方程组，
故选D．
8．【正确答案】A
【分析】此题考查一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【详解】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，一个图象的，，另一个图象的，，符合题意；
B、由图可得，一个图象的，，另一个图象的，，不符合题意；
C、由图可得，一个图象的，，另一个图象的，，不符合题意；
D、由图可得，一个图象的，，另一个图象的，，不符合题意；
故选A．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得：山的高度是米，故①正确；
表示的是小张爬山的情况，表示的是小王爬山的情况，故②错误；
小张爬山的速度是（米分），小王爬山的速度是（米分），
小张爬山的速度是小王的2倍，故③正确；
由图象可得，小王比小张先走米，所需时间是（分钟），
小王比小张先出发分钟．故④正确．
正确的有①③④三个，
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键；
根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断．
【详解】解：① ∵，，，
∴，
由于a和b符号组合，有4种结果：，
故①正确；
② ∵要求，即，
∴原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
结果有3种不同结果，故②错误；
③ ∵，
∴，
当时，均为负，均为正，
，
当时，，
故③错误；
综上，①正确；
故选B．
11．【正确答案】4
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式==4．
故答案为4．
12．【正确答案】293.8
【分析】本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴.
13．【正确答案】3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可．
【详解】解：由2x+y=4x+y=2，
解得x=2y=0，
将代入得，
解得．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．观察图片可以看出构成等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】解：由题意得：、、是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，为等边的高，
，
且，
在中，由勾股定理得：，
遮雨棚起码高为.
15．【正确答案】
【分析】根据翻折的性质可得AD=DE，BD=DE，AF=EF，CE=BC，∠A=∠DEF，∠B=∠DEC，可得∠FEC=90°，点D为AB中点，根据直角三角形斜边中线的性质可求出AB的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AF=EF，CF=AC-AF，在Rt△FEC中利用勾股定理列方程求出AF的长即可．
【详解】∵沿翻折，点落在点处， 沿翻折，点恰好与点重合，
∴AD=DE，BD=DE，AF=EF，CE=BC，∠A=∠DEF，∠B=∠DEC，
∵∠ACB=90°，
∴∠FED+∠DEC=∠A+∠B=90°，AD=BD，
∵CD=5，
∴AB=2CD=10，
∵BC=6，
∴AC==8，CE=BC=6，
在Rt△FEC中，EF=AF，CF=AC-AF=8-AF，
∴CF2=EF2+CE2，即（8-AF）2=AF2+62，
解得：AF=.
16．【正确答案】6514；3027
【分析】本题考查新定义，整式加减的运算，二元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键．根据新定义得到，求出的值即可，根据新定义得到，根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被5整除，推出，进而得到符合条件的的最大数和最小数，再进行计算即可．
【详解】解：∵是阶梯数，
∴，解得，
故这个数为6514；
∵是阶梯数，
∴，
∴，
又∵
，能被5整除，
∴能被整除，
∵自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最小，此时，
∴，
∴
∴最大数与最小数的差值为．
故答案为6514；3027．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1） 先分别计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减运算；
（2） 先利用完全平方公式计算，并进行分母有理化，最后计算加减法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】见详解；；；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了用尺规作已知直线的平行线，其实质是作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．
按照作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段的方法即可完成尺规作图；读懂每步证明的依据即可完成填空．
【详解】解：作图如下：
证明如下：
∵，
，
∴在和中，
，
，
，
∴，
故；；；内错角相等，两直线平行．
19．【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，整体的思想，熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键．
（1）将代入②求出，将代入①求出；
（2）先将的值代入方程组，用加减消元的方法解方程组即可；
（3）由（2）得出，，再解方程组即可．
【详解】（1）解：将代入②得：，
解得；
将代入①得：，
解得，
，；
（2）解：把，代入得：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
原方程组的解为；
（3）解：把，代入关于的二元一次方程组得：
由（2）可知，
①②得，
解得，
把代入①得：，
解得：，
方程组的解为．
20．【正确答案】（1）90.5，85，30
（2）八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高，理由见详解
（3）500
【分析】（1）根据加权平均数、中位数的定义可求出，，根据八年级A，B组人数可求出对应的C占比；
（2）对比七、八年级所抽学生的最终评分的平均数，中位数，方差，即可得出结论．
（3）先求出七、八年级给出的最终评分超过了90分人数占比，用总人数乘占比即可得出结论．
【详解】（1）解：（分），
，
八年级B组人数为3人，占总人数的百分比为：
，
．
（2）八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高．
理由：七、八年级所抽学生的最终评分的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，八年级的方差小于七年级的方差，说明整体打分波动较小，八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高．（合理即可）
（3）七、八年级给出的最终评分超过了90分人数占比：
（人）
估计该校七、八年级共有500人给出的最终评分超过了90分．
21．【正确答案】（1）图见详解；
（2）或．
（3）或或或
【分析】（1）先根据所给的坐标建立直角坐标系，然后再作出关于轴对称的，进而可得出点的坐标．
（2）设，根据，即可得出，解方程即可求出x的值，进而可得出点P的坐标．
（3）根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：直角坐标系如下：如下：
则．
（2）解：设，
∵
∴，
即
解得：或，
∴或．
（3）解：∵．
∴，
设点，
当时，
即，
解得：或，
∴或；
当时，
即
解得：，
∴
当时，
即，
解得(与点A重合，舍去)或，
∴，
综上：或或或．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解，一条性质为当时，y有最大值9
（3）的取值范围为
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，动点问题的函数图象，理解题意是解决本题的关键．
（1）先利用勾股定理求出，分点P在和上两种情况，根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；
（3）画出，再根据函数图象即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，当点运动在上时，如图，
∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，是边上的中线，
∴，
∴
，
由题意得，点运动的路程为x，即，
∴的面积为，
，
由题意得，当点运动在上时，如图，
由题意得，点运动的路程为x，即
，
∴的面积为，
，
综上所述，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当时，y有最大值9；
（3）解：由题意可得，画出如图，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
由图象可得，当时，的取值范围为．
23．【正确答案】（1）A型车一次可运货3吨，B型车一次可运货4吨
（2）8
（3）共有三种租车方案①租用型车辆，型车1辆②租用型车6辆，型车4辆③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键．
（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意建立方程组，解方程组即可得；
（2）由题意分别表示出两种车的租车获利，利用共获利元列方程求解即可；
（3）先求出，则可得必须是3的倍数，分别求出符合条件的，的值，再根据已知条件求出对应的租车费，比较即可求得结果．
【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，
由题意得：，
解得：，
答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨；
（2）解：由题意得：
答：m的值为8；
（3）解：该经销商现有吨脐橙，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，
，
，
，都是正整数，
必须是3的倍数，
有三种方案：①当时，，此时租车费为（元；
②当时，，此时租车费为（元；
③当时，，此时租车费为（元；
，
租用型车2辆，型车7辆最省钱，最少租车费为元．
答：共有三种租车方案：①租用型车辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为元．
24．【正确答案】（1），
（2）4
（3）或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解，把直线与直线的函数表达式联立即可求得点D的坐标；
（2）连接，则有的面积等于的面积，利用割补思想即可求解；
（3）连接并延长，交直线于点N，则当点P与点N重合时，取得最大值，求出直线的表达式，可求得点N的坐标，分三种情况，利用全等三角形的判定与性质即可求得满足条件的点Q的坐标．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
把点A、B的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
联立直线与直线的函数表达式得：，
解得：，
即点D的坐标为；
（2）解：连接，如图，
对于，令，得；对于，令，得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点E、点P到的距离相等，
∴的面积等于的面积，
而
，
∴；
（3）解：连接并延长，交直线于点N，
∵，
∴当点P与点N重合时，取得最大值，
设直线解析式为，
把代入得：，
∴，
即直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
把点代入中，得，
∴直线解析式为，
令，解得：，
∴，
∴；
当时，如图，
由于A、P两点的横坐标相同，连接，则轴，过点E作于M，过点作交的延长线于点T，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的横坐标为1，纵坐标为，
即；
当时，同理证明，
得，
∴；
当，时，如上图，此时点Q为线段的垂直平分线与的交点，也是的中点，见上图，
则，即；
综上，满足条件的点Q的坐标为或或．
25．【正确答案】（1）
（2），理由见详解
（3）
【分析】（1）作，由等腰三角形三线合一和直角三角形性质可知，在中，利用勾股定理可求；
（2）延长至M，使，连接，先利用可证明，进而再利用证明，则可证明；
（3）延长交的延长线于点G，延长至使连接通过证明，说明，则可知Q的运动轨迹在过且与夹角为的直线上；因为为定值，若周长最小，即最小，故过A作的对称点，连接与的交点即为所求点Q；求出长度，且可证，则可求．
【详解】（1）解：作，
∵，
∴，且 ，
∴，
在中，
；
（2）解：；
理由：延长至M，使，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵
∴，
∵
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴；
（3）解：延长交的延长线于点G，延长至使连接
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴
∴
∵旋转至，
∴且，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴Q的运动轨迹在过且与夹角为的直线上，
∵，
∴，
∵为定值，若周长最小，即最小，故过A作的对称点，连接与的交点即为所求点Q；
作，则四边形为长方形，
则，
∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
则．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
84
83
40.4
八年级
84
b
76
23.2