重庆市第八中学校2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市第八中学校2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题（原卷版+解析版），共41页。试卷主要包含了解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，每个小题只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。
1. 下列四个数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 的值是（ ）
A. 5B. C. D.
3. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列选项中，是二元一次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则点A关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 以下列每组数为三角形的边长，能作出直角三角形的是（ ）
A. B. C. D. ，，
7. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
8. 小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（ ）
A. 7B. 7.57C. 8D. 9
9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为，，，已知，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11. 若分式有意义，则取值范围是__________．
12. 因式分解：________．
13. 如图，函数与交于点，则不等式的解集为________．
14. 函数的图象竖直向上平移个单位后过点，则的值为________．
三、解答题（本大题共5小题，15-17题，每题8分，18-19题，每题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
15. 解方程组和不等式组：
（1）解不等式组：
（2）解方程组：
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形中，，若，则有平分，请根据以下思路完成以下作图和推理填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交直线于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：平分
证明：过点C作于点F
∵
∴
∵
又∵
∴ ①
∵
∴
在和中

∴（ ③ ）
∴ ④
∵，
∴平分
18. 重庆市某中学为了解七、八年级学生每周海量阅读时间的情况，从七、八两个年级的学生中各随机抽取20名学生的一周海量阅读时间（时间单位为分钟且为整数）进行整理、描述和分析（一周海量阅读的时间用x表示，共分为四个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
七年级B，C两个组的数据分别为：81，81，82，83，84，76，76，77，78
八年级C组的数据分别为：80，79，78，78，78，78，78，77，76
【数据分析】七、八两个年级抽取学生海量阅读时间统计表如下：
（1）完成填空：________，________，并补全条形统计图；
（2）根据时间统计表中的数据，你认为七、八年级哪个年级的学生一周的海量阅读时间较多？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校区七年级有学生1800人，八年级有学生2000人，请估计该校七、八两个年级一周的海量阅读时间不超过75分钟的学生人数共是多少？
19. 某超市九月份购进两种水杯共只，已知每只水杯售价为元，每只水杯的售价为元，全部售完总销售额为元．
（1）求该超市九月份分别购进两款水杯多少只？
（2）该超市十月份继续购进这两款水杯售卖，对款水杯进行降价促销：每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致；每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了，此次促销后售完两款水杯总销售额比九月份多元，求的值．
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
20. 关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________．
21. 如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），的三个顶点均为格点，将绕着点O逆时针旋转得到，在整个旋转过程中，线段扫过的面积为________．（结果保留）
22. 甲、乙两车分别从A、C两地同时出发，相向而行，途经中间的B地，A、C两地相距．甲途经B地停留一段时间后原速驶往C地，乙送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计），甲比乙晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲和乙距各自出发地的距离y（单位：）与甲行驶时间x（单位：）之间的函数图象，下列说法：
①
②甲在B地停留的时间为小时
③乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为
④当时，甲、乙相距
其中正确是________．
23. 如图，在中，，，点E为边上一点，点B关于的对称点为点D，连接，延长交的延长线于点F．若，，则线段的长度为________．
24. 若一个四位数的千位与百位数字和与十位与个位数字和的积为150，则称这个四位数为“闪亮数”．例如：四位数3769，因为，所以3769是“闪亮数”，那么最小的“闪亮数”为________．若一个四位数为“闪亮数”，将M的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，记，若为完全平方数，被7除余5，则满足条件的M的值为________．
五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25. 如图，在中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒（点P不与端点、重合），的面积为．

（1）请直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若直线与的图象有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．
26. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．

（1）求直线的解析式；
（2）点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标；
（3）已知点K为直线上一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．
27. 在直角三角形中，，，点K为直线上一点．
（1）如图1，若K在线段上，，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，，若，求的长度；
（2）如图2，若K为的中点，点D，G分别为，延长线上的点，连接，，满足，连接与的延长线交于点F，点E为上一点，连接，满足，求证：；
（3）如图3，，将绕点B逆时针旋转至，当取到最小值时，在直线上取一点Q，连接，将沿翻折至，点K的对应点为点M，点N为直线上一点，连接，当取到最小值时，请直接写出此时的面积．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78
a
85
八年级
78
78
b
重庆八中2025-2026学年度（上）期末考试初二年级
数学试题
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，每个小题只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。
1. 下列四个数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，运用无理数是无限不循环小数进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，是整数，不是无限不循环小数，故不是无理数；
B、是分数，不是无限不循环小数，故不是无理数；
C、是无限不循环小数，故是无理数；
D、不是无限不循环小数，故不是无理数；
故选：C．
2. 的值是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴的值是5，
故选：A．
3. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义．
【详解】解：∵正比例函数的形式为（），
A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意；
B、，即形式，且，符合定义，符合题意；
C、，含常数项，不符合形式，不符合题意；
D、，含常数项，不符合形式，不符合题意；
故选：B．
4. 下列选项中，是二元一次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将每个选项的和值代入方程，计算并验证是否等于．
【详解】解：A、把代入方程得：左边，不是方程的解，故不符合题意；
B、把代入方程得：左边，是方程的解，故符合题意；
C、把代入方程得：左边，不是方程的解，故不符合题意；
D、把代入方程得：左边，不是方程的解，故不符合题意；
故选：B．
5. 已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则点A关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称性质，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
6. 以下列每组数为三角形的边长，能作出直角三角形的是（ ）
A. B. C. D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．通过勾股定理判断每组数是否满足两边的平方和等于第三边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，满足勾股定理，能作出直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
7. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．观察图象可得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限，即可求解．
【详解】解：观察图象得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限，
，．
故选：C．
8. 小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（ ）
A. 7B. 7.57C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数的计算，计算一周总睡眠时间除以总天数7，得到平均睡眠时间即可．
【详解】解：小王这一周的平均睡眠时间为：（小时），
故选：B．
9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解。设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半文钱，乙的钱甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲原有文，乙原有文，
∵ 甲得到乙所有钱的一半后共有文，
∴，
∵ 乙得到甲所有钱的后共有文，
∴，
方程组为：
．
故选：B．
10. 如图，中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为，，，已知，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．根据直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积得出，将代入得，进而可得出答案．
【详解】解：由题意可知：，
把代入中，得：
，
，
，
∴，
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11. 若分式有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
根据分母不为零列式求解即可．
【详解】解：由题意得，分母 ，
解得 ．
故答案为：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．先提取公因式，再对二次项应用平方差公式进行因式分解
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 如图，函数与交于点，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先理解题意，得出函数与交于点，然后运用数形结合思想进行分析，即可作答．
【详解】解：∵函数与交于点，
∴
解得，
即函数与交于点，
∴观察函数图象，得不等式的解集为，
故答案为：
14. 函数的图象竖直向上平移个单位后过点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可．
【详解】解：原函数竖直向上平移个单位后，新函数为，
将点(1,3)代入新函数：，
计算得：，
解得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，15-17题，每题8分，18-19题，每题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
15. 解方程组和不等式组：
（1）解不等式组：
（2）解方程组：
【答案】（1）不等式的解集：；
（2）方程组的解：．
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
（1）先分别求解每个不等式：解第一个一元一次不等式直接移项得出解集，解第二个分式不等式先去分母转化为整式不等式，再通过展开、合并同类项、系数化为1求解；最后取两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；
（2）先将第二个方程整理为用含代数式表示的形式，再代入第一个二元一次方程，通过代入消元法将方程组转化为一元一次方程，求解得出的值；最后将的值代回整理后的方程，求出的值，得到方程组的解．
【小问1详解】
解：
解不等式①：，
解不等式得：，
整理，得，
解得：，
∴不等式解集：；
【小问2详解】
解：，
由②得，，
将③代入①，得，
去括号得：，
解得：，
∴，
∴方程组的解：．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
17. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，在对角互补的四边形中，，若，则有平分，请根据以下思路完成以下作图和推理填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交直线于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：平分
证明：过点C作于点F
∵
∴
∵
又∵
∴ ①
∵
∴
在和中

∴（ ③ ）
∴ ④
∵，
∴平分
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）延长，以点为圆心，以超过到射线的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求；
（2）根据四边形内角和得，然后在求，接着利用证明，从而得出结论．
【小问1详解】
解：即为所求：
【小问2详解】
证明：过点C作于点F
∵
∴
∵
又∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴，
∵，
∴平分．
18. 重庆市某中学为了解七、八年级学生的每周海量阅读时间的情况，从七、八两个年级的学生中各随机抽取20名学生的一周海量阅读时间（时间单位为分钟且为整数）进行整理、描述和分析（一周海量阅读的时间用x表示，共分为四个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
七年级B，C两个组的数据分别为：81，81，82，83，84，76，76，77，78
八年级C组数据分别为：80，79，78，78，78，78，78，77，76
【数据分析】七、八两个年级抽取学生海量阅读时间统计表如下：
（1）完成填空：________，________，并补全条形统计图；
（2）根据时间统计表中的数据，你认为七、八年级哪个年级的学生一周的海量阅读时间较多？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校区七年级有学生1800人，八年级有学生2000人，请估计该校七、八两个年级一周的海量阅读时间不超过75分钟的学生人数共是多少？
【答案】（1），，见详解
（2）七年级，理由见详解
（3）1120人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，补全条形统计图，中位数，众数，样本估计总体，利用众数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合抽取20名学生，列式计算得七年级组的人数为，然后补全条形统计图，根据中位数的定义，众数的定义进行分析，即可作答．
（2）理解题意，七，八年级的阅读平均数都是，但七年级的众数85大于八年级的众数，故七年级的学生一周的海量阅读时间较多．
（3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抽取20名学生，
∴，
∴七年级组的人数为，
补全条形统计图：
依题意，把七年级B，C两个组的数据从小到大进行排序：76，76，77，78，81，81，82，83，84，
故七年级数据的第名和第名，即数据，
∴七年级的中位数为，
结合扇形统计图：
依题意，八年级抽取20名学生，其中有个，
则，
即出现的次数最多，
∴八年级的众数．
【小问2详解】
解：七年级的学生一周的海量阅读时间较多，理由如下：
依题意，七，八年级的阅读平均数都是，但七年级的众数85大于八年级的众数，
故七年级的学生一周的海量阅读时间较多．
【小问3详解】
解：依题意，（人），
即估计该校七、八两个年级一周的海量阅读时间不超过75分钟的学生人数共是人．
19. 某超市九月份购进两种水杯共只，已知每只水杯的售价为元，每只水杯的售价为元，全部售完总销售额为元．
（1）求该超市九月份分别购进两款水杯多少只？
（2）该超市十月份继续购进这两款水杯售卖，对款水杯进行降价促销：每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致；每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了，此次促销后售完两款水杯总销售额比九月份多元，求的值．
【答案】（1）
款水杯只，款水杯只
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（）通过设未知数表示水杯的购进数量，根据“总数量”和“总销售额”两个核心条件列二元一次方程组，代入消元后求解，得出两种水杯的具体购进数量；
（）基于第一问的结果，结合“降价”“销量提高’的条件，分别表示出十月份水杯的销售额，根据“十月份总销售额”列一元一次方程，展开合并同类项后移项求解，得到降价金额的值．
【小问1详解】
解：设购进款水杯只，则购进款水杯只，
根据题意，得，
解得，
答：购进款水杯只，则购进的款水杯只；
【小问2详解】
解：∵每只款水杯售价降低元，销量与九月份一致，
∴款水杯的销售总额，
∵每只款水杯售价不变，销量在九月份的基础上提高了，
∴款水杯的销售总额，
∵促销售完两款水杯总销售额比九月份多元，
∴两款水杯总销售额，
∴，
整理，得，
解得：．
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
20. 关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和．
【详解】解：解不等式，得，即，
∴
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵有且只有三个整数解，整数解为，
故需满足，即
∴整数为和，和为
故答案为：．
21. 如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），的三个顶点均为格点，将绕着点O逆时针旋转得到，在整个旋转过程中，线段扫过的面积为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了网格与勾股定理，不规则图形面积，旋转性质，先理解题意，运用勾股定理得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，如图所示：
则，，
∴线段扫过的面积
．
故答案为：．
22. 甲、乙两车分别从A、C两地同时出发，相向而行，途经中间的B地，A、C两地相距．甲途经B地停留一段时间后原速驶往C地，乙送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计），甲比乙晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲和乙距各自出发地的距离y（单位：）与甲行驶时间x（单位：）之间的函数图象，下列说法：
①
②甲在B地停留的时间为小时
③乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为
④当时，甲、乙相距
其中正确的是________．
【答案】④
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，根据函数图象可得A、B两地的距离为，则两地的距离为，据此可判断①；求出甲的速度，求出甲不休息时行驶3小时的距离，再减去A、C两地的距离，可求出休息的时间乘以甲的速度所行驶的距离，据此可判断②；求出乙到达终点的时间，进而求出乙的速度和乙从C到B的时间，据此可判断③；当时，此时乙回到C地，求出此时甲与A地的距离即可判断④．
【详解】解：由函数图象可知，A、B两地的距离为，则两地的距离为，即，故①错误；
甲的速度为，
则甲停留的时间为，故②错误；
∵甲比乙晚到达终点，
∴乙到达终点的时间为，
∴乙的速度为，乙从C到B的时间为
∴乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为，故③错误；
当时，此时乙回到C地，
此时甲与A地的距离为，
∴此时甲、乙相距，故④正确；
故答案为：④．
23. 如图，在中，，，点E为边上一点，点B关于的对称点为点D，连接，延长交的延长线于点F．若，，则线段的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
连接，等边对等角得到，对称得到，进而得到，设，倒角求出，作，三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作，则：，，
∴，
∴；
故答案为：
24. 若一个四位数的千位与百位数字和与十位与个位数字和的积为150，则称这个四位数为“闪亮数”．例如：四位数3769，因为，所以3769是“闪亮数”，那么最小的“闪亮数”为________．若一个四位数为“闪亮数”，将M的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，记，若为完全平方数，被7除余5，则满足条件的M的值为________．
【答案】 ①. 1969 ②. 4696
【解析】
【分析】首先根据闪亮数的定义，四位数的千位与百位数字和与十位与个位数字和的积为．由于数字和为至，只有和两种可能．为求最小四位数，优先考虑千位最小的情况，即，此时千位，百位，十位，个位，得最小闪亮数1969．对于第二部分，M为闪亮数，故与为10和15或15和10，计算．由为完全平方数，得为完全平方数，结合a和c的取值范围，符合条件的或13．结合被7除余5，即被7除余5，设（k为整数），则，分情况讨论的值，代入b和d表达式，仅当且时满足，此时．
【详解】解：第一部分：求最小闪亮数．
闪亮数满足，其中为数字，．和均为至的整数，的因数对中只有和满足，
要使四位数最小，取．千位a最小为1，则；十位c最小为6，则．故，验证，符合要求．
若取，最小千位，则；十位，则，得．故最小闪亮数为1969．
第二部分：求满足条件的M．
∵为闪亮数，
∴，即且，或且．
又∵，，
∴
，
∴，
∵为完全平方数，
∴为完全平方数，
∴符合题意的或，
∵被7除余5，
∴，
设（k为整数），则，
∵a和c在千位和百位上互换，b和d在十位和个位上互换，
∴a的取值范围是且为整数，c的取值范围是且为整数，
b的取值范围是且为整数，d的取值范围是且为整数，
此时分情况讨论：
①当时，
代入得，
其中时，，则，
结合，，得，，不符合条件，舍去，
结合，，得，，不符合条件，舍去；
②当时，
代入得，
其中时，，则，
结合，，得，，符合条件，
结合，，得，，不符合条件，舍去；
综上所述，符合条件的．
故答案为：1969，4696．
本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．
五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25. 如图，在中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒（点P不与端点、重合），的面积为．

（1）请直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若直线与的图象有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的图像与性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．
（1）过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求出，再根据等面积法求出，再分当点在上运动时，当点在上运动时，两种情况讨论求解即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，并写出对应的函数性质即可；
（3）分别求出直线恰好经过时，当直线恰好经过时，值即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
当点在上，即时，，
，
即；
当点在上，即时，，
，
，即；
综上所述，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
该函数性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
【小问3详解】
解：当直线恰好经过时，，
当直线恰好经过时，，解得，
由函数图象可知，当时， 直线与该函数图象有两个不同的交点．
26. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．

（1）求直线的解析式；
（2）点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标；
（3）已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）或
（3）和，过程见解析
【解析】
【分析】（1）先求出直线与y轴交于点，再由求出，根据待定系数法利用、坐标求出直线的解析式；
（2）先计算直线与的交点坐标，直线与轴交坐标，过作轴垂线交于点，交轴于点，设，则得，，移动点，结合图形和，分别列出关于的等量关系式，进而得到点P的坐标，注意验证值；
（3）由（2）得、，设，记直线与直线交于点，过点作轴于点，交直线于点，得、的坐标，根据坐标得，得是等腰直角三角形，进而得，，由得，分情况讨论在轴右侧时得，根据直角三角形边的比得得关于的等量关系式，解出得值得到的坐标，同理讨论在轴左侧时得出的另一坐标．
【小问1详解】
解：直线与y轴交于点，
令，得，
，，
，
，，
直线过、两点，
，解得，
直线的解析式为：；
【小问2详解】
解：直线与直线交于点，
，解得，
，
直线与轴交于点，
令，得，解得，
，
过作轴垂线交于点，交轴于点，
设，则，，
情况1，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况2，如下图，当点在点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况3，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况4，如下图，当点点左侧点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况5，如下图，当点点左侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
综上所述，点坐标为：或；
【小问3详解】
解：由（2）得，，则，
由（1）得，
，
点为直线上的一个动点，
设，
，，
，
记直线与直线交于点，
过点作轴于点，交直线于点，
则，，
，，，，
是等腰直角三角形，，，，
，
，
当在轴右侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
当在轴左侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
综上所述，的坐标为和．
本题属于一次函数综合题，求一次函数与坐标轴的交点坐标，考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标系中求两点之间的距离，三角形的面积，解题的关键是画图数形结合、分类讨论来解题．
27. 在直角三角形中，，，点K为直线上一点．
（1）如图1，若K在线段上，，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，，若，求的长度；
（2）如图2，若K为的中点，点D，G分别为，延长线上的点，连接，，满足，连接与的延长线交于点F，点E为上一点，连接，满足，求证：；
（3）如图3，，将绕点B逆时针旋转至，当取到最小值时，在直线上取一点Q，连接，将沿翻折至，点K的对应点为点M，点N为直线上一点，连接，当取到最小值时，请直接写出此时的面积．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）证明，得到且，由勾股定理求得的值，再由已知条件得到的值，最后利用勾股定理求得的值；
（2）连接，延长与交于点M，在延长线上截取，先证明，得到，设，证明，利用导角得出，从而通过等腰三角形的性质及线段的和差关系即可得证结论；
（3）先确定点P的轨迹是与夹角为的直线l，当点P在直线l与交点处时，有最小值，再确定点M的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，当点A，M，N，H四点共线时，有最小值，利用解直角三角形和勾股定理得出相关线段的长度，最终可求得的面积．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴且，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，连接，延长与的延长线交于点M，在延长线上截取，
∵K是中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，又，
∴，，
∴，即，
∴，即．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
又∵K为上的动点，绕点B逆时针旋转得到，
如图，取中点K，连接，绕点B逆时针旋转得到，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点P在直线上，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，
∵为初始角定角，
∴也为一个定角，
即与的夹角始终为定值，
∴点P的轨迹是与夹角为的直线l，
如图，当点P在直线l与交点处时，有最小值，
∴点K是的中点，
∴，，
∵点Q是直线上的动点，沿翻折至，点K的对应点为点M，
∴点M的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，
如图，过点P作射线，与的夹角为，过点N作，
∴，
∴，
∵点N是上的动点，点M是上的动点，
∴当点A，M，N，H四点共线时，有最小值，
∵，，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
过点M作，
在中，，，
∴，
∴．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质、圆的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78
a
85
八年级
78
78
b