广东省广州市广东番禺中学附属学校2024~2025学年九年级上学期九月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市广东番禺中学附属学校2024~2025学年九年级上学期九月月考数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．
【详解】解：A、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D
2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=1
C. 当x=1时，有最大值D. 当x0时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为．
【详解】A．由函数的图象可知，即函数开口向上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数的图象可知m>0，即函数开口向下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
8. 已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
依据题意，由抛物线为，从而对称轴是直线，再由和进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线为，
∴对称轴是直线．
若，则，
∴抛物线开口向上．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵经过三点，
又，
∴，故A错误，C正确．
若，则，
∴抛物线开口向下．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∵经过三点，
又，
∴，故B、D错误．
故选：C．
9. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）
A. 水面宽度为
B. 抛物线的解析式为
C. 最大水深为
D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．
利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．
【详解】解：设解析式为，
将抛物线上点，
带入抛物线解析式中得，
解得，
解析式为．
选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意；
选项B中，解析式为，故选项B错误，不符合题意；
选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
10. 对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线，
∴另一个交点在到之间，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，y取到值最小，此时，，
而当时，，
∴ ，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以，正确的结论有：②④⑤，共3个
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 把方程化为一般形式是____．
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，通过移项变换即可得到答案．
【详解】解：由得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程一般形式，正确移项是解题关键．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
13. 若是关于的一元二次方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，且，
解得：，且或，
∴，
故答案为：．
14. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是_________．
①；②；③；④关于x的方程有实根．
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由所给函数图象可知，，，，
∴．故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间．
又∵抛物线开口向下，
∴当时，函数值小于零，即．故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
又∵，
∴．故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的图象与直线有交点，
∴关于x的方程有实根．故④正确．
∴结论正确的是②④．
故答案为：②④．
15. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为______，宽为______时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
【答案】 ①. 9 ②. 9
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得．因为旋转形成的圆柱侧面积是：，所以要求侧面积最大，即求的最大值，由此能求出结果．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的周长为36，
∴，
解得：，
∵旋转形成的圆柱侧面积是：，
∴要求侧面积最大，即求最大值，
，
∴当时有最大值81，
此时．
答：矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大．
故答案为：9；9．
16. 抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，顶点的坐标为．若点为抛物线上一动点，其横坐标为，作轴，且点位于一次函数的图像上．当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将顶点代入抛物线表达式中求的值确定抛物线的解析式，然后求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用表示出，根据二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：或，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴抛物线与直线的交点坐标为，，
设，，
当时，，
∵，
∴当时，的长度随的增大而减小，不符合题意；
当时，，
∵，
∴当时，的长度随的增大而增大，当时，的长度随的增大而减小．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的图像与性质是解答的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤．
（1）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可；
（2）首先将原方程整理，再用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
整理可得 ，
∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
整理可得 ，
∵，
∴
∴，
∴，．
18. 抛物线y＝x2+4x+3.

（1）求出该抛物线对称轴和顶点坐标．
（2）在所给的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线．
【答案】（1）对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）图象如图所示．见解析.
【解析】
【分析】(1)根据二次函数一般式，转化为二次函数顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴.
(2)令y=0，计算出二次函数与x轴的交点坐标，在坐标系中标出，根据问题（1）确定顶点坐标的位置，然后从左至右依次连线即可解决.
【详解】（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），
对称轴为x＝﹣1；
（2）当y＝0时，x2+4x+3＝0，
则（x+1）（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交于点（﹣1，0）（﹣3，0），
图象如图所示．
【点睛】本题考查了二次函数顶点坐标和对称轴的确定，用描点法画二次函数的图像，解决本题的关键是正确的将二次函数一般式转化为顶点式，求二次函数与x轴的交点坐标.
19. 已知二次函数；
（1）把该二次函数化成的形式．
（2）当取何值时，随的增大而增大？
【答案】（1）
（2）当时，随的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查二次函数顶点式的转化方法，二次函数图像的性质，
（1）根据配方法，可以将函数解析式化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式和二次函数的性质，即可得解；
解题的关键是掌握二次函数解析式的三种表示形式：（1）一般式：（，、、为常数）；（2）顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标；（3）交点式：（抛物线与轴的交点的横坐标分别为、）．
【小问1详解】
解：，
∴把该二次函数化成的形式为：；
【小问2详解】
解：根据（1）可知，图像开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
20. 已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），；
（2）证明见详解；
【解析】
【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根；
（2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明；
【小问1详解】
解：∵方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根．
21. 如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米．
（1）求道路的宽度；
（2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？
【答案】（1）道路的宽度为1米；
（2）最多购进A种花卉240株．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可；
（2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设道路的宽度为x米，
根据题意得：，
解得：，，
∵，故舍去，
，
答：道路的宽度为1米．
【小问2详解】
解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，
根据题意得：,
解得：，
∴最多购进A种花卉240株．
22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式；
（2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式；
（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即与之间的函数关系式是，且是整数）；
【小问2详解】
由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
【小问3详解】
由（2）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
23. 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，的面积等于？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并指出t的取值的范围；
（3）t为何值时，S最小？求出S的最小值．
【答案】（1）或4
（2）（）
（3），
【解析】
【分析】（1）设运动时间为秒，则，然后再根据的面积得到关于的一元二次方程，求解之即可得答案；
（2）根据即可得出答案；
（3）利用配方法将S关于t的关系式变形为顶点式，然后根据二次函数的性质求其最小值．
【小问1详解】
解：设运动时间为秒，则，
，
的面积等于，
，
，
整理，得，
，
或；
故运动开始后第2秒或第4秒时，的面积等于；
【小问2详解】
解：运动开始后第t秒时，
，
，
（）；
【小问3详解】
解：，
又二次项系数为，
抛物线开口向上，
当时，最小，的最小值为63．
【点睛】此题考查了一元二次方程与二次函数在解决图形面积问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解法与运用配方法求二次函数的最值是解答此题的关键．
24. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或或或
【解析】
分析】（1）先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值即可；
（2）存在以，，顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：直线与轴、轴分别交于点、点，
当时，由得；当时，，
，，
把、代入，得，解得，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在．
理由如下：
，
该抛物线的顶点为，对称轴为直线，
设，
①等腰三角形以为底边，如图1所示：
，
由得，或，
，，；
②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示：
，
，
，
，
；
③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示：
，
，
，
，
，，
，解得，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于压轴题．
25. 我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题：
（1）的图象关于 轴对称；
（2）直接写出函数的伴随函数的表达式 ；
在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象；
（3）若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值；
【答案】（1）
（2）①；②见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解；
（2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可；
（3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵点和点都在的图象上，
∴的图象关于轴对称；
【小问2详解】
解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式；
②在中，
当时，；
当时，，
当时，，
描点连线绘制函数图象如下：
【小问3详解】
解：如图：
由，消去得到，
∴，，
∴，
在中，令，则，
解得，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
电影票售价x（元/张）
40
50
售出电影票数量y（张）
164
124