广东省广州市铁一中学2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市铁一中学2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：根据题意可得：
是中心对称图形的是“”，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨
B. 若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次
C. 汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件
D. 经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查概率的意义，事件的分类．根据概率的意义，事件分类逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意；
B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意；
C、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意；
故选：D．
3. 用配方法解方程，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．利用解一元二次方程—配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．
【详解】解：解：
，
故选：A．
4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 与y轴交点坐标为B. 与x轴有两个公共点
C. 当时，y随x增大而减小D. 对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：
当时，，
图象与y轴的交点坐标为，故A不符合题意；
，
图象与x轴没有交点，故B不符合题意；
∵，即：抛物线的开口向上，且对称轴为，
当时，y的值随x值的增大而减小，故C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为，
原画四周镶上彩纸后的长为，宽为．
根据题意得：，
即．
故选：D．
7. 如图，在中，点在AB上，，交于，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据已知得出，进而根据相似三角形的性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故C正确；
∴，即，故A正确；
∴，故B正确；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，故D错误．
故选：D．
8. 如图，直线y=kx+bk≠0与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3，
∴当一次函数图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为，
∵，
∴，
∴当时，自变量的取值范围是，
故选：B．
9. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，首先利用等腰三角形的性质和旋转的性质可以得到，接着利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
为的中点，
，
故选项A正确，不符合题意；
∴，
故选项C错误，符合题意；
∴，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A. πB. πC. πD. 2π
【答案】A
【解析】
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝42，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是________．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．根据非负数的性质可得当时，一元二次方程有实数根，于是只要使c的值为负数即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
12. 有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可．
【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为，
由题意可得：，
解得，
故答案为：．
13. 在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中，之间电流能够正常通过的概率是______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键．
画出树状图，共有种等可能的结果，，之间电流能够正常通过的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，，之间电流能够正常通过的结果有种，
，之间电流能够正常通过的概率为，
故答案为：．
14. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在弧AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为_____．
【答案】20．
【解析】
【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PB即可．
【详解】解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB＝2PB＝20．
即△PDE周长是20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，把△PDE的周长转化成含有PB的式子，题型较好，难度适中．
15. 对于任意实数，若规定，若m，n是的两个根，则______．
【答案】2026
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，再由新规定得出，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是的两个根，
∴，即，
∵规定，
∴
．
16. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则为等边三角形；⑤若，则．其中结论正确的序号是______．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；先证明，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；证明四点共圆，可判定③，如果为等边三角形，求得，推出是等边三角形，得到是等边三角形，而不一定是等边三角形，即可判断④；当时，，由为边的中点，得出，即可判断⑤，据此即可求解．
【详解】解：①∵于点，于点，为边的中点，
∴，，
∴，故①正确；
②在与中，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，故②正确 ；
③∵于点，于点，
∴，
∴四点共圆，
∴，故③正确，
④∵，
∴，
如果为等边三角形，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则是等边三角形， 而不一定是等边三角形，故④错误；
⑤当时，
∵于点
∴，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，故⑤正确；
∴结论正确的序号是①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解下列方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再提取公因式进行因式分解得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
∴或，
∴，．
18. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形内角和定理可得，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将绕着点逆时针旋转后得到，则坐标为________，并在图中画出；
（2）旋转过程中所扫过的面积为________（结果保留 ）．
【答案】（1）点坐标为，画图见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）分别作出三个顶点绕着点按逆时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可；
（）先利用勾股定理求出线段，再根据扇形的面积计算公式进行计算即可；
本题考了查旋转变换和扇形面积计算问题，熟练掌握旋转变换的定义和扇形面积计算公式是解题的关键．
【小问1详解】
如图所示：
∴点坐标为，即为所求；
【小问2详解】
∵，，，
∴，，，
由旋转性质可知：，
∴旋转过程中所扫过的面积，
故答案为：．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）当的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据即可证明无论m取什么实数值，该方程总有两个的实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于m的方程，解出m即可得出答案．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程，
，
无论m为何值，，
，
无论为何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：和恰好是方程的两个根，
，，
是直角三角形，斜边为，
，
∴，
∴，
整理，得，
解得，，
又时，，不符合题意舍去，
．
21. 圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘微、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过万亿位，有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为_________；
（2）我校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
（1）这个事件中有10种等可能性，其中是3，6，9都是3的倍数，根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图计算即可．
【小问1详解】
解：∵这个事件中有10种等可能性，其中是3，6，9都是3的倍数，
∴估计这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如图所示：
∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．
∴（其中有一幅是祖冲之）．
22. 大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
（1）求证：是小圆O的切线．
（2）若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论；
（2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，设交于H，
∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H在小圆O上，
又∵，
∴是小圆O的切线；
【小问2详解】
解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．
23. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
（1）求y与的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒．
①求与t函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可；
（2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可；
②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得过点，，
将，代入，得，
解得，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
①解：设，
将，代入，得，
解得，
∴；
②解：由题意得
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．
24. 如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）作∠BAP的平分线交BP于I，证明∠DAI=∠AID，进而命题可证；
（3）连接BI，AC，先计算得∠AIB=120°，从而确定I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，根据“射影定理”得AD2=DE•CD，进而证明△DI′E∽△DCI′，从而求得结果．
【小问1详解】
解：证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠APD=∠BPD；
【小问2详解】
如图，
作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI=∠BAI，
∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，
∵，
∴∠DAB=∠APD，
∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，
∴∠AID=∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI=180°，
∴∠AIP+∠DAI=180°；
小问3详解】
如图2，
连接BI，AC，OA，OB，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI=∠BAP，
∴∠ABI=∠ABP，
∵∠APB=60°，
∴∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠BAI+∠ABI=（∠BAP+∠ABP）=60°，
∴∠AIB=120°，
∴点I的运动轨迹是，
∴DI=DA，
∵∠AOB=2∠APB=120°，
∵AD⊥AB，
∴，
∴∠AOB=∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠CAD，
∵∠ADC=∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2=DE•CD，
∵DI′=DI=AD，
∴DI2=DE•CD，
∵∠I′DE公共角，
∴△DIE∽△DCI，
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关定理及确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2） 如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
（3） 如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或；
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
（2）由题意易得，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，则有直线的解析式为，然后可直接求解；
（3）分或等于两种情况分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
把坐标代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即：，
设点横坐标为，则点横坐标为，
设直线的解析式为：，把代入得，，
解得：，
∴所在的直线表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
设直线的函数表达式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
解得：或，
则点的坐标为或；
【小问3详解】
解：①当时，
当在轴上方时，如图2，
设交轴于点，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
直线过点，则其直线方程为：②，
联立，
解得： 或（舍去），
∴点的坐标为；
当在轴下方时，如图2，过点作交于点，则，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
直线可以看成直线平移而得，其值为，
则其直线表达式为： ，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
∵，则，
即：，
解得：，
则点，
同理可得：直线表达式为：，
联立，
解得：， (舍去)，
则点；
②当时，
当在上方时，如图3，点为图2所求，
设交于点，
∵，
∴ ，
∴ ，
由①知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，
同理可得：直线的表达式为：，
令，解得或 (舍去负值)，
∴ ；
当在下方时，
同理可得： (舍去负值)，
故点．
故点的坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．