广东省惠州市惠阳区崇雅中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省惠州市惠阳区崇雅中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小．求出，即可得到答案．
详解】解：，，
∴，
∴四个选项中最大的实数是，
故选：B．
2. 据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将万写成，保留1位整数，写成的形式即可，n为正整数．
【详解】解：万，保留1位整数为，小数点向左移动7位，
因此，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握中a的取值范围和n的取值方法是解题的关键．
3. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、B、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A、B、D不是中心对称图形，不符合题意；
C能找到一点，使C绕该点旋转180度后与原来图形重合，故C是中心对称图形，符合题意；
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项法则及幂的乘方进行计算，再求出答案即可．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C．x2与x不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项法则及幂的乘方等知识点，能熟记相应的运算法则和性质是解答此题的关键．
5. 如图，AB是☉O的直径，∠CAB=40°，则∠D=（ ）
A. 60°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是90°解得∠B的度数，再利用圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角相等解题．
【详解】解： AB是☉O的直径，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、直径所对的圆周角是90°等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6. 二次函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
7. 如图，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上.若，则的长为（ ）
A. 0.5B. 1.5C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用∠B的正弦值和正切值可求出BC、AB的长，根据旋转的性质可得AD=AB，可证明△ADB为等边三角形，即可求出BD的长，根据CD=BC-BD即可得答案.
【详解】∵AC=，∠B=60°，
∴sinB=，即，tan60°=，即，
∴BC=2，AB=1，
∵绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，
∴AB=AD，
∵∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1.
故选D.
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
8. 若，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. 5B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：、，求出和的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，整体代入法求代数式的值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
9. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解关于m的方程，即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时方程有两个相等的实数解，时，无实数解，时，有两个不相等的实数解．
10. 如图，P为矩形的边的延长线上的动点，于H，点E在边上，若，，，则线段的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，以为直径作的外接圆，当E，O，H三点共线时，取最大值，再过O作于F，根据勾股定理求出，而，即可求出线段的最大值．
【详解】解：连接，以为直径作的外接圆，
∵，
∴点H在上，
当E，O，H三点共线时，取最大值，
过O作于F，
∵，，
∴，易得F为的中点，
∴，
在中，，，
∴线段的最大值为．
故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出 最大时的情况是解题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分共18分）
11. 因式分解：x2y﹣y=_____．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．
【解析】
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
12. 代数式有意义时，应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
13. 点关于原点成中心对称的点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：点关于原点成中心对称的点坐标是，
故答案为：
14. 不等式组的正整数解为_______．
【答案】x=1
【解析】
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解，即可．
【详解】解：，
由①得：x＞-1，
由②得：x≤1，
∴不等式组得解为：-1＜x≤1，
∴不等式组的正整数解为：x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是解题的关键．
15. 圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，它的侧面积是________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，确定这个扇形的弧长和半径，代入扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
16. 如图1，是一枚残缺的古代钱币，如图2，经测量发现，钱币完好部分的弧长为3π，其内部正方形ABCD的边长为1．已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合，且点E，F分别是边BC，CD的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长DA交⊙O于M，延长AB交⊙O于N．先利用弧长公式求出r，再利用分割法求解即可．
【详解】解:如图，延长DA交⊙O于M，延长AB交⊙O于N．
设⊙O的半径为r．
由题意，钱币完好部分的弧长为3π，
∴ ×2πr＝3π，
∴r＝2，
∴S阴＝（πr2﹣1）＝π﹣．
【点睛】本题考不规则图形的面积，熟练掌握弧长公式、分割法求面积是解决本题的关键．
三、解答题（一）（本大题4小题，第17，18题各4分，第19，20各6分，共20分）
17. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．
先将乘方，负整数幂，锐角三角函数，以及0次幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等判定，平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，判定三角形全等的方法有．先根据得出，即可根据证明．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
19. 在中，．
（1）尺规作图：在上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形的性质，是解决本题的关键．
（1）利用基本作图，作的垂直平分线交于点D，连接；
（2）先利用，三角形外角性质，线段垂直平分线性质得到，再根据直角三角形的两锐角互余，得到．
【小问1详解】
如图，分别以A、B两点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，
作直线，交于点D，
连接，
点D即为所求作；
【小问2详解】
∵，且，，
∴，
∴，
由（1）作图知，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
20. 图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，，当AB、BC转动到时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：）．
（1）求点B到AE的距离
（2）求点C到AE的距离．
【答案】（1）17.3cm
（2）7.6cm
【解析】
【分析】（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，在RtABM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长．
（2）过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，从而可得四边形MNCD是矩形，进而可得DM=CN，求出∠ABM=30°，从而求出∠CBD=15°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答．
【小问1详解】
如图，过点B作BM⊥AE，垂足为M，
在RtABM中，∠BAE=60°，AB=20cm，
∴∠ABM=90°-∠BAE=30°，
BM=AB•sin60°=20× ≈17.3（cm）．
【小问2详解】
如图，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=15°，
在Rt△BCD中，BC=10cm，
∴BD=BC•cs15°≈10×0.97=9.7（cm），
∴DM=BM-BD=17.3 -9.7=7.6（cm），
∴DM=CN=7.6cm，
∴点C到AE的距离为7.6cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，第21题8分，第22，23题10分，共28分）
21. 为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
（1）在这个抽样调查中，总体是 ，样样本容量是 ．
（2）x =________，扇形图中表示C的圆心角的度数为_______；
（3）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
【答案】（1）九年级全体男生1000米跑步的成绩，40
（2）4，36° （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意即可知总体是九年级全体男生，B等级的人数除以其所占的比例即可得到样本容量；
（2）用样本容量减去A、B、D三个等级的人数即可求出C等级的人数，即可求出x，用C等级的人数除以样本容量再乘以360°即可得解；
（3）采用列表法列举即可求解．
【小问1详解】
根据题意可知总体为九年级全体男生1000米跑步的成绩，
样本容量：10÷25%=40，
故答案为：九年级全体男生1000米跑步的成绩，40；
【小问2详解】
C等级的人数：40-24-10-2=4（人），即x=4，
圆心角度数：4÷40×360°=36°，
即答案为：4，36°；
【小问3详解】
根据题意列表如下：
由上表可知总的可能情况有6种，同时选中甲乙的情况有2种，
则同时抽中甲、乙的概率为2÷6=，
即所求概率为．
【点睛】本题考查了频数分布表和扇形统计图的知识以及用列举法求解概率的知识，注重数形结合和掌握列举法求解概率是解答本题的关键．
22. 某中学为弘扬中国传统文化，深度开展“读名著，诵经典”活动，计划采购A，B两类图书．通过市场调研，每套A种图书的价格是每套B种图书价格的1.5倍，用2400元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多5套．
（1）A，B两种图书每套价格分别为多少元？
（2）现学校计划采购A，B两类图书共90套，且A种图书数量不低于B种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）A种图书每套120元，B种图书每套800元
（2）学校购买A种图书30套，则购买B种图书60套时，总费用最低，最低费用为8400元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
（1）设B种图书每套x元，则A种图书每套元，根据用2400元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多5套列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设学校购买A种图书a套，则购买B种图书套，购买图书的总费用为y元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：A种图书每套120元，B种图书每套800元；
【小问2详解】
解：设学校购买A种图书a套，购买B种图书套，购买图书的总费用y元，
由题意得：，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半，
∴，
解得，
∴当时，y最小，最小值为8400，
此时（套），
答：学校购买A种图书30套，则购买B种图书60套时，总费用最低，最低费用为8400元．
23. 如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数的图象经过点和点M．
求k的值和点M的坐标；
若坐标轴上有一点P，满足的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）15；M（6，2.5）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出，推出点M的纵坐标为．
（2）求出点C的坐标，即可求得▱OABC的面积，然后根据三角形面积公式求得OP的长即可解决问题．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
四边形OABC是平行四边形，
，
∵A的纵坐标为5，点C的纵坐标为0，
点M的纵坐标为，
点M在的图象上，
∴
∴
．
，，，
，
，
的面积是▱OABC的面积的2倍，
，即，
，
或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质以及三角形面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
五、解答题（三）、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24. 如图，在中，平分线交于点D，过点D作交于点E，以为直径作．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5-r，由OD∥AC可得出，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB-AE即可求出BE的长度；
（3）接着利用勾股定理计算BD=，则CD=，利用正切定义得tan∠CAD=，然后证明∠CAD=∠EDB，从而得到tan∠EDB的值．
【详解】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO=AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
设OD=r，则BO=5-r，
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
解得：r=，
∴BE=AB-AE=5-=；
（3）解：∵OD=，OB=，
在Rt△ODB中，BD==，
∴CD=BC-BD=，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°，
∵∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠EDB，
∴tan∠EDB=．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用相似三角形的性质求出⊙O的半径；（3）利用正切的定义求出tan∠CAD．
25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）先根据点和点关于直线对称，求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）用待定系数法求出BC的解析式，然后把代入直线求出点M的坐标即可；
（3）设点P的坐标为：，得出，，；然后分三种情况进行讨论，列出关于t的方程解方程即可．
【小问1详解】
解：∵点和点关于直线对称，
∴，
把，，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设直线解析式为与对称轴的交点为，此时的值最小，
∴把、分别代入直线，
得，解得：，
∴直线的解析式为，
把代入直线得，
∴，
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为．
【小问3详解】
解：设点P的坐标为：，则：
，
，
；
当时，，
即，
解得：，，
此时点P坐标为：或；
当时，，
即，
解得：，
此时点P的坐标为：；
当时，，
即，
解得：，
此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：或或或．
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y