广东省广州市番禺区星执中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市番禺区星执中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘方运算、有理数的加减和乘除运算，依次对四个选项进行验算即可得到答案．
【详解】解：A：，故选项A错误；
B：，故选项B错误；
C：，故选项C正确；
D：，故选项D错误；
故选：C．
2. 威宁是“中国南方马铃薯之乡”．2023年某合作社马铃薯大获丰收，据负责人介绍：“今年合作社种植了4700余亩本地品种，产量达到8700多吨，产值在2400万元以上．”将2400万元用科学记数法表示应为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式，a的取值范围，n 的确定方法，是解题关键．
科学记数法的表示形式为，其中．若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n的值等于该数的整数位数减去1，据此解答即可．
【详解】2400万，
故选：B．
3. 受国际油价影响，某年六月底某地92号汽油的价格是8.19元/升，八月底的价格7.56元/升．已知该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设每月的平均下降率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用八月底该地92号汽油的价格＝六月底该地92号汽油的价格每月的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握定义解答的关键．
【详解】根据题意，得抛物线的顶点坐标是，
故选A．
5. 如图，点C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理；先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子总个数是（ ）
A 11B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图和左视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．
【详解】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，
由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如图所示：
故这张桌子上碟子的个数为（个），
故选：B．
7. 在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及这个两位数能被6整除的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中啊这两个两位数能被6整除的结果有：12，24，42，共3种，
这个两位数能被6整除的概率为．
故选：C．
8. 一人乘雪橇沿坡比为的斜坡笔直滑下，滑下的距离为72米，则此人下降的高度为（ ）
A. 72米B. 36米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
米，
∵坡度比为，即，
∴．
则其下降的高度米．
故选：B．

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点，，若反比例函数的图象经过点C，则k的值是（ ）

A. 12B. 48C. 50D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．由菱形的性质和锐角三角函数可求点C坐标，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，

∵菱形的边在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴，
故选：D．
10. 若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
【详解】解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”，
∴关于原点对称，
∴，
∴，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，即
当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去．
当时，两边同乘a得：，
∴，
∴③正确，符合题意，
∵，
∴，
∵
∴，
整合条件：
三式相加得：，
∴，即
∴④错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②③．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 因式分解__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 掷一枚均匀的硬币次，前九次朝上的面次数为反次，正次，那么第十次反面朝上的概率是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是概率的意义，根据独立实验概率的意义，即可求解．
【详解】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同，
即第十次反面朝上的概率是，
故答案为：．
13. 如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积是________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据三视图即可得出该几何体是圆锥体，以及相应长度，再根据圆锥体的表面积公式计算可得．
【详解】解：由三视图知该几何体是圆锥，母线长13，底面直径为10，
∴圆锥体的表面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆锥体的表面积公式．
14. 如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案．
【详解】，
，，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
．
15. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，是延长线上一点，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由，推出．由三角形外角的性质求出．连接，由勾股定理得：，而，，求出，，得到，又，即可证明，得到，由三角形外角的性质求出，即可得到．
【详解】解：连接，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：1．
16. 在矩形中，，，点，分别是边和上的动点，且，连接，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为 _________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，三角形三边关系．
连接，取中点，连接，，过点作于，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：连接，交于，
∵，，
，，
，
，
，
，
是矩形形的中心，
，，
，
，
取中点，连接，，过点作于，则，
∴，
，
，
，，
，
由勾股定理可得，
在中，是的中点，则，
，
当，，三点共线时，最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程移项后提取公因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
∴
∴或
．
18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，．
证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】找齐条件，证明，即可得到结论，此处考查了全等三角形的判定和性质，找准条件是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴
∵，
∴.
在与中，
∵，
∴，
∴
19. 先化简，再求代数式的值，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值分别把a、b化简，代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式
20. 每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令入痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，真爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题．
（1）参加此安全竞赛的学生共有______人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级，学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率．
【答案】（1）40 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据特等奖的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数乘以获得“二等奖”的学生人数所占的百分比求出获得“二等奖”的学生人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出恰好是1名七年级和1名九年级学生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：（1）参加此次有奖征稿活动的学生有：（人）；
故答案为；40；
【小问2详解】
二等奖人数为：(人)，
条形统计图补充完整如下图：
【小问3详解】
获得一等奖的学生中，人来自七年级，人来自八年级, 人来自九年级，用表示七年级学生，表示八年级学生，C和D表示九年级的两名学生，树状图如下，
由图可知，共有种结果，每种结果出现的可能性相等，其中满足恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有种，所以恰好是一名七年级和一名九年级的概率为，
答:两人恰好是一名七年级和一名九年级的概率为．
21. 如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树.当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段,米.
（1）求树根到地面的距离.
（2）求树的高度.（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】（1）树根到地面的距离为2米
（2）树的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是理解题意、熟练掌握锐角三角函数．
（1）在中用三角函数解决即可；
（2）先在中，求得的长，再在中，求得的长，最后求得的长度．
【小问1详解】
解：由题意，知，
．
，
（米）．
答：树根到地面的距离为2米．
【小问2详解】
解：在中，，
则（米）．
在中，，
则（米），
则（米）．
答：树的高度约为米．
22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数，当时，写出x取值范围；
（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）当时，即为B点左侧图象和第一象限的图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围；
（3）先求出点C和点D的坐标，设，根据得到n的值，再根据点P在反比例函数的图象上，代入求解即可．
【小问1详解】
解：点A、B的横坐标分别为1、，点A、B在的图象上，
当时，；当时，，
，，
点A、B在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由反比例函数图象可得时，x的取值范围是或；
【小问3详解】
存在．
对于，当时，，当时，，
，，
设，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
23. 如图，是的直径，点为上一点，，垂足为，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知和圆周角定理的推论可得，再证明即可求解；
（2）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可；
（3）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，同理得出，再理由相等角的正切值相等，建立等式，求解即可．
【小问1详解】
，，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图，连接，
是的直径，
，
的半径为，
，
又，
，
，
，
，
．
，垂足为，
在中，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 如图1，已知、都是等腰直角三角形，，，E为的中点，将绕点B顺时针旋转角，如图2，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当A、D、E三点在同一直线上时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）长为或．
【解析】
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是等边三角形是解本题的关键．
（1）先判断出，再判断出夹角相等，即可得出结论；
（2）先判断出是等边三角形，进而判断出，求出，借助（1）的结论得出比例式，即可得出结论；
（3）分两种情况：先判断出，利用勾股定理求出，进而得出，最后借助（1）结论得出比例式，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：在中，，，
，
，
同理：，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图2，旋转前，点是的中点，
，
在中，
取的中点，连接，
，
，
由旋转知，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
；
【小问3详解】
①当点在线段上时，如图3，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
，
由（1）知，，
，
；
②当点在线段的延长线上，如图4，
同①的方法得，，
，
由（1）知，，
，
，
即：满足条件的长为或．
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值为，
（3）存在，点D的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由已知得点C的坐标，代入一次函数式中求得解析式，即可求得点A的坐标，由待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设直线交y轴于点N，设点，由点B、D的坐标可求得直线的表达式，则得点，则；过点D作轴交于点H，由，即可求解；
（3）分两种情况：当点D在下方时，可得，过过点D作轴于E，设点，证明，则可求得m的值，即可求得D点坐标；当点D在上方时，设交x轴于点F，则可得，求得点F的坐标，得到解析式，与二次函数解析式联立即可求得点D的坐标；综合两种情况即可得．
【小问1详解】
解：∵，则点，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
令，得，
∴点，
把A、C两点坐标代入二次函数解析式中，得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：由，得，
∴点，
设直线交y轴于点N，设点，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
直线的表达式为：，
令,得，
∴点，，
过点D作轴交于点H，
则点，
则
，
∵，则有最大值，
当时，的最大值为，
此时点；
【小问3详解】
解：存在，理由：
当点D在下方时，
由点A、C的坐标知，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
设点，则；
过点D作轴于E，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍去），，
则点；
当点D在的上方时，如图，设交x轴于点F，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设直线解析式为，把点F坐标代入得：，
∴直线的表达式为：，
联立直线的表达式与抛物线表达式得：，
解得：，（舍去），
即点；
综上，点D的坐标为：或．
【点睛】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程等知识，有一定的综合性；涉及分类讨论思想，方程思想．