广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
2. （ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
3. 钓鱼岛是我国固有领土，位于我国东海，总面积约6340000平方米，数据6340000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，据此解答即可．
【详解】解：6340000用科学记数法表示为，
故选：A．
4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角，
∴，
故选：D．
5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）
A. 中位数是4B. 众数是2C. 极差是1D. 中位数是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、极差，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做极差，根据定义计算判断即可．
【详解】解：数据按照从小到大排列为3、、4、4、，中位数是第3个数据，
中位数为4，故A选项正确，符合题意，D选项错误，不符合题意；
数据中4出现2次，所以众数为4，故B选项错误，不符合题意；
最大值为，最小值为3，
极差为，故C选项错误，不符合题意；
故选：A．
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解得即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故选：C．
7. 如图，点C在以为直径的上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解题的关键．
由圆的性质可得，则，再运用圆周角定理求得即可解答．
【详解】解：∵点C在以为直径的上，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选B．
8. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A.
B. 当时，y随x的增大而增大
C.
D. 函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，图象开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由图象可得：，开口向下，对称轴为直线，
∴，即，故A正确，C错误；
当时，y随x的增大而增大，故B正确；
令时，则有，得出的解就是函数图象与x轴的交点横坐标，故D正确；
故选C．
9. 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为25元，降价后的价格为16元，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为25，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，即可求得方程．
【详解】解：由题意，得
．
故选：C．
10. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段'，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤若，点为内一点，则点到三个顶点的距离和最小为．其中正确的结论是( )
A. ①③⑤B. ①③④C. ②③④⑤D. ①②⑤
【答案】A
【解析】
【详解】由旋转的性质和正三角形的性质可判断①；根据三角形的全等的判定与性质可判断②；由三角形的面积公式可以判断；根据③的结论可判断④的正误；再由费马点的性质可以确定⑤正误．
【解答】解：如图，连接，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，
是正三角形，，
①正确，符合题意；
由①可得，
为正三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
无法判断
∴②错误，不符合题意；
过点作垂直的延长线于点，如图所示：
由①知
又，
在，，
③
③正确，合题意；
，
④错误，不合题意；
如图所示，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点），连接，则，．
，
为等边三角形，
，
，
当四点在同一直线上时，的值最小，此时
由旋转的性质可得，，
又，
为等边三角形，
，
，，
，
，
∴，
设交于点，则
∴，则
∴
∴，即
∴
则
⑤正确，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 把化成一般形式(二次项系数为正数)后，其二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．
【答案】 ①. ②. ③. 0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，分别是二次项系数，一次项系数，常数项，据此把化成一般形式后，再逐个作答即可．
【详解】解：依题意，
，
，
，
∴把化成一般形式后，其二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0；
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；因此此题可根据“一个点的坐标关于原点对称，那么这个点的横纵坐标都与原来的互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是；
故答案为．
13. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 _______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，弦，
∴E为的中点，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
故答案为：16．
14. 如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．
∴的解为；
故答案为：．
15. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是____________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则，
∴故①正确；
根据题意可得：，，
∵顶点坐标，
∴，
∴，
∴故②错误；
由关于的一元二次方程没有实数根，可知，
∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确；
∵顶点坐标，
∴当是，有最大值，
∵点是抛物线上任意一点，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（一）；本大题共3小道，每小题7分，共21分．
16. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，要熟练掌握．
（1）先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原方程变形为，这里，
∴．
．
．
17. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵将线段绕A点旋转到的位置，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键．
18. 已知二次函数．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你判断点是否在此二次函数的图象上；
（3）若点，均在该抛物线上，则______（选填：“”“”或“”）
【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为：
（2）不在 （3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）将一般式化为顶点式，求解即可；
（2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为：；
【小问2详解】
∵，
∴当时，，
∴点不在此二次函数的图象上；
【小问3详解】
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：；
四、解答题（二）；本大题共3小道，每小题9分，共27分．
19. 某超市将成本为30元的台灯以40元售出，平均每月售出600个；为提高利润，商家决定涨价出售，该台灯售价每上涨5元，其月销售量就减少50个．
（1）求出月销售量y（个）与售价x（元）之间的关系式．
（2）当售价定为何值时，该台灯月销售利润最大，求最大利润．
【答案】（1）；
（2）当售价定为65元时，利润最大，最大利润为12250元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键．
（）根据题意列出函数关系式即可；
（）设利润为元，根据题意求出与之间的二次函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解；
【小问1详解】
解：由题意可得，，
即；
【小问2详解】
解：设利润为元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，利润最大，最大利润为12250元．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）向左平移3个单位得到的，则点，，的对应点，，的坐标分别为（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的．
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）2，
（2）见详解 （3）6
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移性质可得答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用底高求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
∵向左平移 3 个单位得到的，
故答案为： 2，．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：三角形的面积．
21. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：．
【答案】（1）关于的函数表达式为；
（2）作图见解析，由图可得，当，随的增大而增大
（3）．
【解析】
【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数，
（1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质；
（3）观察函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是长方形，
∴，，
当时，点在上，点在上，
∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，
∴，，
∴，
∴；
当时，点在上，点在上，
∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，
∴，，
∴；
∴关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：函数的图象如图所示，
由图可得，当，随的增大而增大；
【小问3详解】
解：∵，
∴的顶点为，对称轴为，最大值为，
结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点，
当过时，，解得：；
当过时，，解得：；
∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为．
五、解答题（三）；本大题共2小道，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 综合与探究
数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：．
思路梳理：
（1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整；
，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，即点，，共线．
根据___________，易证___________，即可证得．
类比引申：
（2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由；
联想拓展：
（3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．

【答案】（1）；；（2）（1）中的结论还成立，见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键．
（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】解：（1）∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，

∵，
∴，点F、D、G共线，
则，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）（1）中的结论还成立．
理由如下：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：

∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）猜想：．理由如下：
把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：

则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
23. 如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），该抛物线的顶点坐标为
（2），当时，有最大值，最大值为
（3）存在，点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标；
（）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；
（）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解．
【小问1详解】
解：把，代入得，，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∵点的横坐标为，
∴轴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
如图，当时，四边形为平行四边形，
∴，
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
解得，（不符合，舍去），
∴点的横坐标为，
∴；
如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
同理可得；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
劳动时间(小时)
3
4
人 数
1
1
2
1