广东省珠海市文园中学2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省珠海市文园中学2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 在下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念即可求解，掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列式子中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减计算，二次根式的乘法运算法则逐选项判断即可．
【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意；
B．，原式计算错误，不符合题意；
C．，原式计算正确，符合题意；
D．，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 下列各组数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A 4，5，6B. ，2， C. 6，8，10D. 1，，2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项符合题意；
B、，能组成直角三角形，故选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：A．
4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. ，
C. ，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的关键．
根据题意知为的中位线，再根据平行四边形的性质求得，从而求得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
点，分别，的中点，
；
故选：B
6. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x之间的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列变量间的表达式以及自变量取值范围求法，正确得出x、y的表达式是解题关键．直接利用油箱中的油量y=总油量-耗油量进而得出x与y的关系式，再求出x的求值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：，
故选：B．
7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∵点在原点的左侧，
∴点C表示的数为；
故选A．
8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故选：C．
9. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10. 如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接交于点O，连接，，由四边形是菱形，可得，，可知垂直平分，所以，可得，即，由四边形是菱形，，可得，由四边形是菱形且周长为16，可得，结合，可得是等边三角形，由E是的中点，可得，所以，由，可得，在中，由直角三角形的性质，可求出，由勾股定理可得，可求出，所以的最小值为．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故选：D．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
12. 如图，在中，，以斜边AB的长为直径作半圆，当，时，则半圆的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积的计算，根据题意，运用勾股定理得到，再根据半圆面积的计算即可求解，掌握勾股定理，半圆面积的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴半圆的半径为，
∴半圆的面积为：，
故答案为：．
13. 已知，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，把代入原式中，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
14. 若x，y是变量，且是正比例函数，则k值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：是常数，k≠0，是正数也可以是负数．
根据正比例函数的定义，可得：，，从而求出k值．
【详解】解：∵根据正比例函数的定义，可得：，，
∴．
故答案为0．
15. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案；
【详解】解：由勾股定理得，
，
即，
∵，
∴，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
∴阴影部分的面积为：5．
故答案为：5．
16. 如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______（填正确的序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据旋转和矩形性质，证明，从而得出，可判断①，通过全等三角形和等腰直角三角形性质，证明，可判断②，利用全等三角形和等腰直角三角形性质，证明，，即，可判断③，利用勾股定理，计算与的关系，从而得到，结合，可判断④．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴， ，
， ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
，故③符合题意；
设交于，
∵是等腰直角三角形，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，故④不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再合并即可；
（2）先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度．
【答案】钟摆的长度
【解析】
【分析】本题主要考查了利勾股定理应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．
先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，
∴，
设，则，
∵，
∴，即，解得：．
答：钟摆的长度．
19. 如图，在四边形中，，且．四边形的对角线相交于，点E，F分别是的中点，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先证明四边形为平行四边形，得到，进而得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵点E，F分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. 如图，一条伸直的橡皮筋的两端被固定在水平桌面上，C是上的一点，，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2到D点．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）cm；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）先求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可
【小问1详解】
解：∵，
由勾股定理得， ，
【小问2详解】
由勾股定理得， ，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
21. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由翻折和矩形的性质可知，，即可证明 ，即可利用“”证明．
（2）设，则，由翻折可知．即可在中，利用勾股定理求出x的值．即可求出AE的长．
【详解】（1）是矩形，
，，
由翻折的性质得，，，，
，
，，
．
（2）设，则，
沿翻折后点与点A重合，
，
在中，，即，
解得，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠的性质，三角形全等的判定以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
22. 请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法：
由得，则，即把作为整体，得：
请回答下列问题：
（1）已知，求代数式的值．
由得 ，则 ， ，∴ ；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）按照例题的方法解答即可；
（2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；并将代入，得到x（x＋1），将它化为并将代入计算即可．
【小问1详解】
由得，
则，
∴，
∴
故答案为：
【小问2详解】
由得，则，
∴，
∴
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23. 阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，，可知，而
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下列问题：
（1）比较和的大小，给出过程；
（2）填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______；
（3）求的最大值和最小值．
【答案】（1），过程见解析；
（2），大，；
（3）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据分子有理化的方法进行求解，再比较大小即可；
（2）先将分子有理化，再根据的取值即可得出答案；
（3）先求出的取值范围，再根据函数的单调性，即可得出答案．
小问1详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
∵当时，分母随的增大面增大，
∴随的增大面减小，
当时，取最大值，此时，
当时，分母趋近于，，但无法取到最小值，
故答案为：，大，；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
解得：，
当从增大到时，先增大后减小，但整体趋势由的增长主导，导致随增大而单调递减，
∴当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
∴最大值为，最小值为．
24. 已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形；
（1）如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______；
（2）如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）；
（3）如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______．
【答案】（1）
（2）①见详解；②
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作轴，过点作轴，证明，得出，即可求解．
（2）①过点作交于点，交于点，根据题意可得，得出四边形是矩形，，证明，再证明，得出，即可得，，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理可得．
②根据，得出，根据四边形是矩形，得出，表示出，，得出，根据，得出，结合，根据勾股定理得出，即可得．
（3）如图，连接，过点作轴，根据题意得出轴，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，故点C在直线上运动，作点D关于直线的对称点，则，故，当点三点共线时，最小，即最小，过点A作轴于点H，则，根据勾股定理即可得出．
【小问1详解】
解：过点作轴，过点作轴，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，点P的坐标为，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
【小问2详解】
解：①过点作交于点，交于点，
根据题意可得，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
②∵，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，连接，过点作轴，
∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴轴，，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故点C在直线上运动，
作点D关于直线的对称点，
则，
故，
当点三点共线时，最小，即最小，
过点A作轴于点H，
则，
∴，
即的最小值为．
【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．