广东省佛山市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份广东省佛山市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版），文件包含广东佛山市2025-2026学年上学期普通高中供题训练高二数学试题+答案docx、广东佛山市2025-2026学年上学期普通高中供题训练高二数学试题+答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
本训练卷共 4 页, 19 小题. 满分 150 分. 训练用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必要填涂答题卷上的有关项目.
2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4. 请考生保持答题卷的整洁. 训练结束后, 将答题卷交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列四条直线中,方向向量为 1,2 的是
A. x+2y+1=0 B. x−2y+1=0
C. 2x+y+1=0 D. 2x−y+1=0
2. 已知空间向量 a=2,−3,1,b=2,0,3 ,则 a⋅a−b=
A. -9 B. -7 C. 7 D. 9
3. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a6=3,S5=S4+5,amam+10 上与焦点的距离为 2 的点的横坐标为 12 ,则 p=
A. 32 B. 2 C. 52 D. 3
5. 柜子里有两双不同的鞋, 如果从中随机地取出两只, 则取出的鞋成双的概率为
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6. 已知数列 an 满足 a1=1,n+1an−nan+1=anan+1 ,则 a9=
A. 13 B. 3C. 14 D. 4
7. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ，上顶点为 A,O 是坐标原点， I 为 ΔAF1F2 的内心. 若 AI=2IO ,则 C 的离心率为
A. 14 B. 24 C. 12 D. 22
8. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为4,以 A 为圆心、 AD 为半径的圆与 CD 为直径的圆交于 P ， D 两点, 则 P 到 AB 边的距离为
A. 85 B. 125 C. 52 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 随机事件 A,B 满足 PA>PB>PAB>0 ,则
A. B⊆A B. A 、 B 不是互斥事件
C. PAPAB
10. 正三棱柱 ABC−A1B1C1 的所有棱长为 2,E,F 分别为棱 BC,CC1 上的点,则
A. 当 E 为 BC 中点时,任意点 F 到平面 A1AE 的距离均为 1
B. 当 F 为 CC1 中点时,存在点 E 到直线 AF 的距离为 2
C. 对任意给定的点 E ,存在点 F ,使得 AF⊥B1E
D. 对任意给定的点 F ,存在点 E ,使得 AF⊥B1E
11. 设 O 是坐标原点,直线 l 与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,l 与 x 轴交于 M,△OAB 的外接圆交 y 轴于 D (异于 O ), AB 中点到 y 轴的距离为 d ,则
A. DM⊥AB B. DM//OBC. AB>4p D. DM2 ,则 a2= _____.
13. 如图, AB⊥ 平面 α,BC⊂α,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=5,AD=3 ,则直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为_____.

14. 在平面直角坐标系 xOy 中, A−3,−1,B3,−1,C0,2,D1,1 ,且动点 P 满足 PA2+PB2 +PC2=21 ，设点 P 到直线 AB 、 AC 、 BC 的距离分别为 d1 ， d2 ， d3 ，则 PD 的最大值为_____， d12+d22+d32=_____
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 A2,1,B6,3,P 是 x 轴正半轴上的一点.
(1)若以 AB 为直径的圆经过 P ,求 P 的坐标；
(2)若 △PAB 的面积是 4，求 △PAB 中 AB 边上高所在直线的方程.
16. (15 分)
甲、乙两位同学组队参加 “十五届全国运动会” 知识竞赛活动, 比赛具体规则如下: 第一阶段由其中一位同学答一道题, 答对则进入第二阶段, 答错则比赛结束; 第二阶段由另一位同学答题, 第二阶段有两道题, 两题全部答对得 10 分, 两题恰有 1 题答对得 5 分, 两题都答错得 0 分, 第二阶段的得分为总得分. 已知甲每道题答对的概率为 35 ,乙每道题答对的概率为 25 ,每个阶段答题相互独立,每道题答对与否相互独立.
(1)甲参加第一阶段比赛, 求总得分为 10 分的概率;
(2)为使总得分不低于 5 分的概率最大, 应该由谁参加第一阶段比赛?
17. (15 分)
已知双曲线 Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F2,0 ，且经过点 P3,2 .
(1)求双曲线 Γ 的方程；
(2)过 F 的两条直线分别交 Γ 的右支于 A,B 两点和 C,D 两点，且 FA⋅FB=FC⋅FD ，证明:直线 AB 与直线 CD 的斜率之和是定值.
18. (17 分)
如图,四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD,AB⊥AD,PA=AD=2,AB=4,AC=BC=25 , PD=2PM,PB=3PN .
(1)证明: PD⊥AB ；
(2)求平面 AMN 与平面 PAB 夹角的余弦值；
(3)若点 G 满足 AG=λAM+μAN,PG=xPC+yPD ，则点 G 到平面 PAB 的距离是否为定值？ 如果是, 求出这个定值; 如果不是, 说明理由.

19. (17 分)
已知圆 C:x2+y2=r2 ,椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,若过 C 上任意一点 P 作 E 的两条切线 l1,l2 ,总有 l1⊥l2 ,则称圆 C 为椭圆 E 所对应的蒙日圆,此时 r2=a2+b2 .
(1)若椭圆 E 的两个焦点分别为 F1−1,0 和 F21,0 ，且 E 与直线 y=x+3 相切，求 E 的标准方程;
(2)过圆 C 上任一点 P0 作椭圆 E 的一条切线交 C 于点 P1 (异于 P0 )，过点 P1 作椭圆 E 的另一条切线交 C 于点 P2 (异于 P1 ),重复该过程,形成 P1,P2,P3,P4,⋯,Pn,⋯ .
(i) 证明: Pn+4 与 Pn 重合;
(ii) 设 ΔPnPn+1Pn+2 的面积为 S ,求 S 的最大值.
2025~2026 学年普通高中供题训练 高二数学 参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 2
13. 55
14. 3+2 (2 分), 152 (3 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1) [法一] 设 Pa,0a>0 ,则 AB 的中点 D4,2 , 1 分
且 AB=6−22+3−12=25 , 2 分
由于以 AB 为直径的圆经过 P ,故 PD=a−42+22=5 , 4 分
解得 a=3 或 5,因此 P 的坐标是 3,0 或 5,0 . 6 分
[法二] AB 的中点 D4,2 ,且 AB=6−22+3−12=25 , 2 分
故以 AB 为直径的圆的方程为: x−42+y−22=5 , 4 分
令 y=0 ,解得 x=3 或 5,因此 P 的坐标是 3,0 或 5,0 . 6 分
(2)由于 △PAB 的面积是 4 ，因此 P 到直线 AB 的距离是 455 ， 7 分
直线 AB 的方程为 x−2y=0 ,斜率为 12 , 9 分
因此 455=a5 ,结合 a>0 ,解得 a=4 ,故 P4,0 , 11 分
由于直线 AB 的斜率为 12 ,故 AB 边上的高所在直线的斜率为 -2, 12 分
故 AB 边上高所在直线的方程为 y=−2x−4 ,即 y=−2x+8 . 13 分
16. 【解析】( 1 )甲参加第一阶段比赛，记总得分为 10 分为事件 M ，记第一阶比赛甲答对为事件 A1 ，第二阶段比赛得分为 10 分为事件 A2 ,得分为 5 分为事件 A3 ,
PA1=35,PA2=252=425, 2 分
故 PM=PA1A2=35×425=12125 . 5 分
(2)记甲参加第一阶段比赛,总得分不低于 5 分为事件 N1 ，
PA3=2×25×1−25=1225, 7 分
PN1=PA1A2+A1A3=35×425+1225=48125. 9 分
记乙参加第一阶段比赛,总得分不低于 5 分事件 N2 ,第一阶比赛答对为事件 B1 ,第二阶段比赛得分为 10 份为事件 B2 ,得分为 5 分为事件 B3 .
PB1=25,PB2=352=925,PB3=2×35×1−35=1225, 11 分
PN2=PB1B2+B1B3=25×925+1225=42125. 13 分
由 48125>42125,PN1>PN2 , 14 分
所以使总得分不低于 5 分的概率最大, 应该由甲参加第一阶段比赛. 15 分
17.【解析】(1) 设双曲线经过点 P3,2 ,左焦点为 E−2,0 ,
因此 2a=PE−PF=33−3=23 , 2 分
故 a=3,c=2,b=1 , 4 分
因此双曲线的方程为 x23−y2=1 . 6 分
(2)[法一] 设 l1:x=m1y+2,l2:x=m2y+2 ,且 m1≠m2,mi=1kii=1,2 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2
联立直线与双曲线 x=m1y+2x2−3y2−3=0 ,即 m12−3y2+4m1y+1=0 , 7 分
由韦达定理可知, y1+y2=−4m1m12−3,y1y2=1m12−3 .8 分
由于与右支有两个交点,故 y1y2=1m12−313 , .9 分
故 FA⋅FB=1+kx1−2⋅1+kx2−2=1+k12x1x2−2x1+x2+4
=1+k12−12k12−31−3k12+24k121−3k12+4−12k121−3k12=1+k121−3k12=1+k123k12−1 11 分
同理 FC⋅FD=1+k223k22−1 , 13 分
故 1+k223k22−1=1+k123k12−1 ,解得 k12=k22 ,故 k1=−k2 ,即 k1+k2=0 是定值. 15 分
18.【解析】(1)以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A−xyz 如图所示. ……1 分

则 A0,0,0,P0,0,2,B0,4,0,D2,0,0 ,
由 AC=BC=25 得 C4,2,0 ,
PD=2,0,−2,AB=0,4,0, 3 分
所以 PD⋅AB=2×0+0×4−2×0=0 ,
所以 PD⊥AB . 4 分
(2)因为 PD=2PM,PB=3PN ，所以 M1,0,1 ， N0,43,43 ，
所以 AM=1,0,1,AN=0,43,43 , 6 分
设平面 AMN 的一个法向量为 n=x,y,z ,
由 n⋅AM=0n⋅AN=0 ,得 x+z=043y+43z=0 ,令 x=1 得 n=1,1,−1 , .8 分
又平面 PAB 的一个法向量为 m=1,0,0 , .9 分记平面 AMN 与平面 PAB 夹角为 θ ,则 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=13=33 ,
所以平面 AMN 与平面 PAB 夹角的余弦值为 33 . 11 分
(3)解法一: PG=xPC+yPD=4x+2y,2x,−2x−2y ，
AG=AP+PG=4x+2y,2x,2−2x−2y, 13 分
因为 AG=λAM+μAN ,所以点 G 在平面 AMN 内,
所以 AG⋅n=4x+2y+2x−2−2x−2y=0 化简得 4x+2y=1 , 15 分所以 AG=AP+PG=1,2x,2x+1 ,所以点 G 到平面 PAB 的距离 d=AG⋅mm=1 ,
所以点 G 到平面 PAB 的距离为定值 1 . 17 分
解法二: 因为点 G 满足 AG=λAM+μAN,PG=xPC+yPD ,
所以点 G 在平面 AMN 与平面 PCD 的交线上. 12 分
设面 AMN 与直线 PC 交点为 H ，所以点 G 在交线 MH 上，因为 AP=0,0,2,PC=4,2,−2
设 AH=AP+PH=AP+tPC=4t,2t,2−2t
所以 AH⋅n=0 ,即 4t+2t−2+2t=0 ,解得 t=14 . 14 分
所以 AH=1,12,32 ，所以 MH=AH−AM=0,12,12 ， 15 分
所以 MH⋅m=1×0+0×12+0×12=0 ,又 MH⊄ 平面 PAB ,所以 MH// 平面 PAB ,
所以点 G 到平面 PAB 的距离为定值 d=AM⋅mm=1 . 17 分
19.【解析】(1) 方法 1: 由于 E 与直线 y=x+3 相切,因此 y=−x+3 也与椭圆相切, 1 分由于斜率之积为 -1 , 因此两条切线垂直, 2 分
因此两条切线的交点 0,3 在 E 所对应的蒙日圆上,即 a2+b2=3 , 3 分
由于 c=1 ,故 a2=2,b2=1 , 4 分
因此椭圆的标准方程为 x22+y2=1 , .5分
方法 2: 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1 ,则联立直线与椭圆有
b2x2+a2y2=a2b2y=x+3 ,即 a2+b2x2+23a2x+3a2−a2b2=0 , 1 分
故 Δ=12a4−4a2+b23a2−a2b2=4a2b2a2+b2−3=0 ,故 a2+b2=3 , 3 分
由于 c=1 ,故 a2=2,b2=1 , 4 分
因此椭圆的标准方程为 x22+y2=1 . 5分
(2)过点 P0 作椭圆 E 的切线交圆 C 于 P1 ；过点 P1,P0 分别作直线 P0P1 的垂线，与圆 C 交于 P2,Q .
根据蒙日圆的性质可得直线 P1P2,P0Q 也是椭圆 E 的切线. 6 分
连接 P2Q ,考虑四边形 P0P1P2Q ,因为四边形 P0P1P2Q 是圆 C 内接四边形,且有 ∠P0P1P2=∠P1P2Q=π2 , 从而可得四边形 P0P1P2Q 是矩形,即可得 P2Q⊥P1P2 . 8 分
根据蒙日圆的性质可得 P2Q 是椭圆 E 的切线. 9 分
根据题意可得点 Q 与点 P3 重合,又因为 P0Q 是椭圆 E 的切线,所以点 P4 与点 P0 重合.
综上分析即可得 Pn+4=Pn 恒成立. 11 分
(3)根据第(2)问可知由圆 C 上任意一点 P 所形成的一系列点所形成的图形为圆 C 的一个内接矩形. 所以由点 Pn,Pn+1,Pn+2 构成三角形 ΔPnPn+1Pn+2 为直角三角形. 12 分
从而可得 PnPn+2 是圆 C 的一条直径,设 PnPn+2 与 OPn+1 ( O 为坐标原点) 的夹角为 θ ,则可得 ΔPnPn+1Pn+2 的面积 S=12PnPn+2⋅OPn+1⋅sinθ≤a2+b2 , 14 分
当且仅当 θ=π2 时,即 ΔPnPn+1Pn+2 为等腰直角三角形,
即原矩形 PnPn+1Pn+2Pn+3 为正方形时,面积取到最大值. 16 分
经检验,当点 Pn,Pn+1,Pn+2,Pn+3 为圆 C 与坐标轴的交点时,矩形 PnPn+1Pn+2Pn+3 为正方形,且各边均与椭圆相切,从而可得 S 的最大值为 a2+b2 . 17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
D
B
A
C
B
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
ACD