广东省湛江市2025-2026学年高二上学期期末调研数学试卷含答案（word版）

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1. 已知 a=1,−1,1,b=1,2,x ,且 a⊥b ,则 a+b= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 圆 C1:x2+y2+2x−6y−26=0 与 C2:x2+y2−4x+2y+4=0 的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 内含
3. 方程 x2+y−42+x2+y+42=10 等价于( )
A. x225+y29=1 B. x225+y216=1 C. y225+x29=1 D. y225+x216=1
4. 在三棱锥 A−BCD 中,点 M 在线段 AB 上,且 AM=2MB,N 为 CD 中点,设 AB=a , AC=b,AD=c ,则 MN= ( )
A. 13a−12b−12c B. −13a+12b+12c C. 23a−12b−12c D. −23a+12b+12c
5. 已知直线 l:y=kx−k 与圆 C:x−42+y−32=3 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )
A. π6,π2 B. 0,π6 C. 0,π3 D. π3,π2
6. 已知空间中三点 A2,1,3,B4,−1,3,C1,3,4 ,则 AC 在 AB 方向上的投影向量为( )
A. −32,32,0 B. 32,−32,0 C. 2,−2,0 D. −1,2,1
7. 已知 P 是抛物线 y=14x2 上任意一点,点 P 在 x 轴上的射影为点 H ,点 A 的坐标为 12,6 ，则 PA+PH 的最小值是( )
A. 3 B. 12 C. 11 D. 10
8. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,以双曲线 C 的右顶点 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点,若 ∠MAN=60∘ ,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 34 C. 2D. 233
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知圆 C:x2+y2−2x+4y+λ=0 ,则下列结论正确的有( )
A. λ 的取值范围为 −∞,5 B. 若 λ0,λ≠1 的点所形成的图形是圆,后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy 中, A−2,0,B4,0 ,动点 P 满足 PAPB=12 , 点 P 的轨迹为阿氏圆,则这个阿氏圆的方程为_____.
13. 在空间直角坐标系中,已知 A3,2,−1,B2,1,2,C3,1,−1 ,则点 C 到直线 AB 的距离为_____.
14. 黄金分割比 ω=5−12≈0.618 被誉为 “人间最巧的比例”. 离心率 e=5−12 的椭圆被称为 “优美椭圆”. 在平面直角坐标系中的“优美椭圆” C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右顶点分别为 A、B ,点 P 是椭圆上异于左右顶点的动点,设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 ,则 k1k2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=2AA1=4,O 为 AB 的中点， D 为 A1O 的中点.

(1)证明: AD⊥ 平面 A1OC ；
(2)求点 B 到平面 A1OC 的距离.
16. (15 分)
在平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点分别为 A−1,−3,B1,1,C4,2 .
(1)求 AC 边的高线 l1 的直线方程；
(2)求 AB 边的垂直平分线 l2 的直线方程；
(3)求 △ABC 的外接圆方程.
17. (15 分)
过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,已知 AB=16 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)经过抛物线焦点 F 的任意直线交抛物线于 C 、 D 两点，经过点 C 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 E ,求证: 直线 DE 平行于 x 轴.
18.(17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 左右顶点分别为 A,B ，右焦点为 F ，已知 AF=3 ， 离心率为 12 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
设 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的一点,直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于点 M,N . 证明: 以线段 MN 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值.
19. (17 分)
如图, 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 与四边形 CDEF 均为等腰梯形, AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=2,CD=4,AD=10,AE=23,M 是 CD 的中点.

(1)证明:平面 ABCD⊥ 平面 CDEF ；
(2)求平面 BCM 与平面 BEM 所成角的余弦值；
(3)是否存在点 N 在线段 AM 上，使得直线 EN 与平面 BEM 所成角的正弦值为 31326 ? 若存在，请求出 AN 的值；若不存在，请说明理由.